Congruências entre ângulos determinados por retas transversais
Em geometria, alguns conceitos podem ser compreendidos e lembrados sempre, se os associarmos ao significado do nome.
Reconhecer e compreender as relações e, principalmente, as congruências entre ângulos determinados por retas transversais em retas paralelas é importante para a resolução de problemas relacionados a triângulos, quadriláteros e outros polígonos - bem como os próprios problemas com ângulos.
Vejamos alguns conceitos fundamentais que vão ser úteis:
Ângulos opostos pelo vértice:
Na figura, os ângulos marcados com a mesma cor são opostos pelo vértice e possuem a mesma medida, ou seja, são congruentes.
Ângulos suplementares:
São dois ângulos cuja soma vale 180º.
Na figura acima, sobre a mesma reta, temos um ângulo azul e um ângulo vermelho, cuja soma vale 180º, pois formam um ângulo raso.
Lembrados esses conceitos, vamos estudar as relações entre ângulos determinados por uma transversal em retas paralelas.
Observe a figura abaixo.
As retas r e s são paralelas "cortadas" pela transversal t.
Os ângulos 1, 2, 3 e 4 são os ângulos determinados pela transversal t em r - e os ângulos 5, 6, 7 e 8 são determinados por t em s.
Se "recortássemos" a figura conforme o pontilhado, poderíamos tranquilamente encaixar o pedaço recortado sobre a parte de baixo da figura, ou seja, os ângulos 1, 2, 3 e 4 "encaixariam" perfeitamente sobre os ângulos 5, 6, 7 e 8, nessa ordem:
Assim, dizemos que esses ângulos são correspondentes e, como podemos perceber, ângulos correspondentes têm a mesma medida.
Como os pares 1 - 4 e 5 - 8 são opostos pelo vértice e 1 - 5 e 4 - 8 são correspondentes, todos eles têm a mesma medida.
Pelo mesmo motivo, 2, 3, 6 e 7 também têm a mesma medida.
Formando ângulo raso, temos 1 - 2, 3 - 4, 5 - 6, 7 - 8. Cada um desses pares forma um ângulo raso. Sabendo que 2, 3, 6 e 7 têm a mesma medida (ângulos obtusos) e que 1, 4, 5 e 8 têm a mesma medida (ângulos agudos), podemos observar na figura um ângulo agudo qualquer e um obtuso qualquer sendo sempre suplementares.
Dadas duas retas paralelas e uma transversal, os ângulos determinados pela transversal na região entre as paralelas são chamados de internos. Logo, os que não estão entre as paralelas são chamados de externos.
Já os ângulos que estão do mesmo lado em relação à transversal, ou seja, do lado direito ou do lado esquerdo, são chamados colaterais. Os que estão em lados opostos são chamados alternos.
Voltando, então, à figura inicial, temos, em resumo:
Reconhecer e compreender as relações e, principalmente, as congruências entre ângulos determinados por retas transversais em retas paralelas é importante para a resolução de problemas relacionados a triângulos, quadriláteros e outros polígonos - bem como os próprios problemas com ângulos.
Vejamos alguns conceitos fundamentais que vão ser úteis:
Ângulos opostos pelo vértice:
Na figura, os ângulos marcados com a mesma cor são opostos pelo vértice e possuem a mesma medida, ou seja, são congruentes.
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Ângulos suplementares:
São dois ângulos cuja soma vale 180º.
Na figura acima, sobre a mesma reta, temos um ângulo azul e um ângulo vermelho, cuja soma vale 180º, pois formam um ângulo raso.
Lembrados esses conceitos, vamos estudar as relações entre ângulos determinados por uma transversal em retas paralelas.
Observe a figura abaixo.
As retas r e s são paralelas "cortadas" pela transversal t.
Os ângulos 1, 2, 3 e 4 são os ângulos determinados pela transversal t em r - e os ângulos 5, 6, 7 e 8 são determinados por t em s.
Se "recortássemos" a figura conforme o pontilhado, poderíamos tranquilamente encaixar o pedaço recortado sobre a parte de baixo da figura, ou seja, os ângulos 1, 2, 3 e 4 "encaixariam" perfeitamente sobre os ângulos 5, 6, 7 e 8, nessa ordem:
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Assim, dizemos que esses ângulos são correspondentes e, como podemos perceber, ângulos correspondentes têm a mesma medida.
Como os pares 1 - 4 e 5 - 8 são opostos pelo vértice e 1 - 5 e 4 - 8 são correspondentes, todos eles têm a mesma medida.
Pelo mesmo motivo, 2, 3, 6 e 7 também têm a mesma medida.
Formando ângulo raso, temos 1 - 2, 3 - 4, 5 - 6, 7 - 8. Cada um desses pares forma um ângulo raso. Sabendo que 2, 3, 6 e 7 têm a mesma medida (ângulos obtusos) e que 1, 4, 5 e 8 têm a mesma medida (ângulos agudos), podemos observar na figura um ângulo agudo qualquer e um obtuso qualquer sendo sempre suplementares.
Nomeando as propriedades
Agora vamos nomear essas propriedades observadas. Para isso, é preciso entender um pouco a nomenclatura utilizada em geometria.Dadas duas retas paralelas e uma transversal, os ângulos determinados pela transversal na região entre as paralelas são chamados de internos. Logo, os que não estão entre as paralelas são chamados de externos.
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Já os ângulos que estão do mesmo lado em relação à transversal, ou seja, do lado direito ou do lado esquerdo, são chamados colaterais. Os que estão em lados opostos são chamados alternos.
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Voltando, então, à figura inicial, temos, em resumo:
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| Alternos | Internos: 3 e 6, 4 e 5 | São congruentes (mesma medida). |
| Externos: 1 e 8, 2 e 7 | ||
| Colaterais | Internos: 3 e 5, 4 e 6 | Formam ângulo raso (medem juntos 180º). |
| Externos: 1 e 7, 2 e 8 | ||
| Correspondentes | 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8 | São congruentes. |
| Opostos pelo vértice | 1 e 4, 5 e 8, 2 e 3, 6 e 7 | São congruentes. |
Contido em: http://educacao.uol.com.br/matematica/paralelismos-angulos.jhtm; pesquisado em 11/12/2014 as 14h40.
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