Derivadas

É necessário, em todo o cálculo matemático ter a noção teórica de cada tema no qual trabalhamos; isso porque; imaginemos que, para os estudantes até ao 12º ano a relevância destes conceitos acaba por ser desprezada visto que a prática, em termos reais é mais conclusiva que a própria teoria.

Mas, isso só funciona desde que tenhamos sempre presente um professor que auxilie o raciocínio. 
A questão é: quando necessitar implementar ou criar alguma aplicação matemática o conhecimento teórico traduz a opção ou o método a adotar. Por ex: se devemos usar derivadas, limites, integrais, sistemas de equações para satisfação dos critérios físico/matemáticos do cálculo em causa.

Definição de derivadas

Derivadas: por definição as derivadas representam a taxa de variação de uma função....

Derivadas (individual, obtida empiricamente): como o próprio nome indica "derivada" traduz de onde provêm uma função qualquer ou de onde ela deriva/ou, o que lhe deu origem, etc...

Assim a adoção deste segundo conceito pode levar a escolha certa do cálculo em causa, dependendo, da interpretação que lhe é atribuída.

Regras de derivação

Derivadas Essenciais

Regra nº 1: (k' = 0) - Derivada de uma constante:

Segundo a regra assume-se k como sendo uma constante, simplificando; uma constante é um número qualquer (pertencente a qualquer dos conjuntos de números).

Exemplo:  

A derivada de uma constante (k) é sempre igual a 0.

Regra nº 2: (x' = 1) - Derivada de x:

Assume-se x como a variável de uma função; em uma função a variável poderá ser definida por outra letra qualquer normalmente é usada a letra x.
Exemplo:                  

A derivada da variável (usualmente X) é sempre igual a 1.

Regra nº 3: (k . x' = k) - Derivada de uma constante multiplicada por x:

A derivada da multiplicação entre uma constante e a variável x é igual a própria constante como se pode verificar no exemplo abaixo onde é utilizada a regra nº 7 (derivada da multiplicação). 

Exemplo:

A derivada de uma Constante vezes X é sempre igual a Constante.

Nota: Atenção aos casos em que x apresenta um grau maior que 1 quando assim for a regra a utilizar será a regra nº4.

Regra nº 9: (k' = 0) - Derivada da potência de base x:

Alpha é igual ao grau da função derivada, repare que o grau da potência decrescente sempre em -1 relativamente a potência inicial.

Exemplo: 

A derivada da potencia de base X é sempre igual ao grau da potência inicial, multiplicado pela base cujo grau decresce em  -1 unidade. 

Exercícios:

 1. Calcule a derivada da função exponencial:     

Desta forma, iremos mostrar ou explicar como resolver as derivadas indo diretamente a fórmula ou regras necessárias.

Comecemos com a resolução detalhada do exercício 1.; que é uma função exponencial.

Resolução:

Nota: Normalmente, o cálculo de uma derivada é efetuado segundo uma conjugação ou combinação de regras de derivação.

2. Calcule a derivada da função potência de base constante igual a 5:

 

3. Calcule a derivada da função raiz de índice 3: 

4. Derivada do Logaritmo:

4.1.

Contido em: aprendermmatematica.blogspot.com/p/derivadas.html; pesquisado em 28/12/2014 as 12h00.