sexta-feira, 27 de junho de 2014

Tales e seus discípulos: Anaximandro e Anaxímenes - Um pouco da história

Tales e seus discípulos: Anaximandro e Anaxímenes

Tales - É considerado o primeiro filósofo de que se tem notícia, inaugurando a linhagem filosófica dos pré-socráticos.
Segundo a tradição clássica da filosofia ocidental, o primeiro teórico a formular um pensamento mais sistemático fundado em bases racionais foi o grego Tales (cerca de 625 a.C. – 558 a.C.). Sendo o fundador dessa nova forma de pensar, ele é considerado o primeiro filósofo de que se tem notícia, inaugurando a linhagem filosófica dos pré-socráticos (filósofos que vieram antes de Sócrates).
Nascido na cidade de Mileto, uma colônia grega na região da Jônia (atual Turquia), Tales foi matemático, astrônomo e negociante. Herdeiro de conhecimentos ainda mais antigos — como a matemática egípcia e a astronomia babilônica — Tales era tido em sua cidade como um sábio, mas também como um homem prático: conta-se que, utilizando suas habilidades, soube prosperar como um hábil mercador.
O que sabemos sobre as ideias desse filósofo resulta de comentários feitos pelos pensadores gregos que o sucederam, pois não há preservados registros escritos de sua autoria. As principais referências que temos a seu respeito vêm do filósofo Aristóteles.
Tales inaugurou na filosofia a corrente dos pensadores “físicos”: filósofos que buscavam entender e explicar a origem da physis — palavra grega traduzida como natureza, mas cujo significado engloba também a ideia de origem, movimento e transformação de todas as coisas.
Segundo Tales, a origem de todas as coisas estava no elemento água: quando densa, transformar-se-ia em terra; quando aquecida, viraria vapor que, ao se resfriar, retornaria ao estado líquido, garantindo assim a continuidade do ciclo. Nesse eterno movimento, aos poucos novas formas de vida e evolução iriam se desenvolvendo, originando todas as coisas existentes.
Lançando um olhar crítico, tornam-se evidentes as brechas neste raciocínio. Por exemplo, o que dá início a este movimento e o que o mantém? Como um único elemento, a água, poderia se transformar em outra coisa?
Essas falhas, que aos olhos científicos de hoje são evidentes, eram vistas de outra forma na época. Vale lembrar que no momento em que as ideias de Tales foram criadas, os pensamentos racional e filosófico ainda eram bastante povoados por elementos mágicos e mitológicos. Portanto, para um grego antigo, a ideia de que uma coisa simples como a água pudesse se transformar em outra coisa não era absurda.
O grande mérito de Tales, na verdade, não foi a sua explicação aquática da realidade: foi o fato de que, pela primeira vez na história, o homem buscava uma explicação totalmente racional para o seu mundo, deixando de lado a interferência dos deuses.
Tales pode ser tido também como o pai da filosofia unitarista — que busca a explicação de todas as coisas a partir de um único princípio (no caso dele, a água) — e que teria seu maior expoente na figura de Heráclito de Éfeso.
A partir de sua teoria, diversos filósofos pré-socráticos buscaram seus próprios caminhos para explicar aphysis. Tales, Anaximandro e Anaxímenes formaram o trio da chamada Escola de Mileto e ficaram conhecidos como os physiologoi (estudiosos da physis). Era o início da filosofia e do esforço humano em compreender o espetáculo da existência a partir da racionalidade.

Anaximandro Discípulo de Tales - Assim como seu mestre, procurou compreender o princípio (arKhé) que origina toda realidade.
Anaximandro de Mileto (610 a.C.- 547 a.C.) foi discípulo de Tales. Assim como seu mestre, procurou compreender o princípio (arkhé) que origina toda a realidade. Porém, em suas investigações, não encontrou em nenhum elemento físico este princípio, mas no que chamou de ÁPEIRON.
Segundo Anaximandro, é a partir da transformação de cada coisa no seu contrário, isto é, da mudança entre pares de opostos da realidade, que podemos perceber que elas estão imersas em um turbilhão infinito, ilimitado, indeterminado, mas que determina e limita todos os seres. A este turbilhão original denominouápeiron.
Para o nosso filósofo, pares de contrários são, por exemplo, quente-frio e seco-úmido. Isto quer dizer que em cada coisa somente um de cada par pode existir, não podendo, pois, coexistirem em um mesmo objeto, o quente e o frio. Por isso percebemos a ordem nesta determinação. Mas se nenhuma predomina eternamente (pois uma só existe quando a outra não está presente) é porque deve ser determinada por algo extrínseco (fora) a elas, algo ilimitado, mas que as limita, o ápeiron (ilimitado, indefinido, indestrutível, indeterminado).
Assim, o que tem geração ou início tem também fim. E a mudança dos seres não pode em si e por si mesmos se determinar. Logo, a solução encontrada por Anaximandro de um princípio sem limites, sem fim e sem determinação, era o ápeiron.

Anaxímenes de Mileto - Fez parte da Escola Jônica. Foi discípulo de Anaximandro.
Anaxímenes de Mileto (585 a.C.-528 a.C.) também fez parte da Escola Jônica. Foi discípulo de Anaximandro e como este, também afirmou ser uma só a natureza ou princípio (arkhé) subjacente a todas as coisas. No entanto, mesmo que acreditasse ser este princípio ilimitado, não o pensou ser indefinido.
Anaxímenes acreditava ser o AR o princípio que originava todas as coisas no universo. Conforme seu pensamento, por um processo de condensação, o AR se transformava em objetos líquidos e sólidos (pedras, metais, terra, água e etc.). E por outro processo, a rarefação, o AR se transformava em gases, ventos, oxigênio e fogo.
O filósofo também pensou ser a alma feita de ar, observando que o vivente respira (refrigera o corpo) enquanto que o morto não o faz. Por isso, até hoje temos o costume de dizer “saúde” a quem espirra. É que para os seguidores de Anaxímenes, o espirro é como se a alma tivesse saindo do corpo e desejar saúde é um modo de orar, de pedir aos deuses para que ela retorne ao corpo, restabelecendo a harmonia do ser. E mesmo não tendo consciência disso, herdamos o costume, como também herdamos muito do pensamento grego em nossa cultura ocidental

Pesquisado em: http://www.brasilescola.com/filosofia/tales-mileto.htm,27/06/2014 as 15h30.




sexta-feira, 20 de junho de 2014

Teorema de Tales - Exercício resolvido


Exercício resolvido com o teorema de Tales

1)    Sabendo que as retas a, b e c são paralelas, utilize o Teorema de Tales e determine o valor de x na figura a seguir:
Pelo Teorema de Tales temos que:
  . Aplicando a propriedade das proporções, na igualdade entre as razões, determinamos o valor de x, :




     Os possíveis valores de x que satisfazem a proporção são -1,5 e 6, observe que, como não existem medidas negativas, despreza-se o valor -1,5 e a resposta do problema é:
                            x=6.

sexta-feira, 13 de junho de 2014

Teoremas de Tales e Pitágoras - Aplicação no mundo contemporâneo

A utilização dos teoremas de Pitágoras e Tales no mundo contemporâneo é o principal motivo pelo qual estamos estudando-os.

Pitágoras foi o primeiro matemático puro, e de sua vida não podemos afirmar nada com certeza, pois não deixou nenhum relato sobre sua vida ou até mesmo sobre suas obras. O teorema de Pitágoras é provavelmente o mais celebre dos teoremas da matemática, este teorema estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo. Se “c” designar o comprimento da hipotenusa e “a” e ”b” os comprimentos dos catetos o teorema afirma que:” O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos catetos ao quadrado, utilizando fórmula: a² = b² + c².

Muitas pessoas não enxergam nenhuma utilidade desse teorema no mundo contemporâneo, mas ele está presente até em uma simples construção de parede onde precisamos obter o ângulo de 90° entre uma parede e outra, além de serem utilizados na construção civil, muitos profissionais, como pedreiros, carpinteiros, serralheiros, utilizam este tipo de esquadro.

O Teorema de Tales foi proposto pelo filósofo grego Tales de Mileto onde afirma que: quando duas retas transversais cortam um feixe de retas paralelas, as medidas dos segmentos delimitados são proporcionais. Para entender melhor este teorema é preciso saber um pouco sobre razão e proporção. Para a resolução de um problema envolvendo o Teorema de Tales, utiliza-se a propriedade fundamental da proporção, multiplicando-se os meios pelos extremos, ou seja os ângulos das retas tem a razão oposto pelo vértice da reta que os corta.

Tales é uma figura imprecisa historicamente, pois não sobreviveu nenhuma de suas obras. O que sabemos sobre Tales é baseado em antigas referências gregas, e à história da matemática que atribuem a ele um bom número de descobertas matemáticas definidas.

Um dos exemplos de utilização desse teorema, e a de razão e proporção de objetos e outros utilitários do nosso dia-a-dia, como por exemplo, uma roupa de um mesmo modelo, pode ter vários tamanhos assim podem ser proporcionais entre si, ou não. Outro exemplo é miniaturas de carros, objetos, maquetes onde muitas vezes não são proporcionais, mas deveriam ser. Muitas pessoas não têm conhecimento desta proporcionalidade.

Fonte: http://talesepitagoras.blogspot.com.br/, pesquisado em:13/06/2014 as 15h50.

Teoremas de Tales e Pitágoras - Aplicação

Aplicação dos Teoremas de Tales e Pitágoras

Teorema de Pitágoras
 O fato de ser possível determinar o valor de muitos números irracionais através do Teorema de Pitágoras. Os matemáticos gregos da antiguidade demonstraram o Teorema de Pitágoras na construção de linhas com o comprimento exato de números irracionais. Como mostra a figura:




Teorema de Tales
O Teorema de Tales também é aplicado na razão e proporção das figuras, como podemos ver a seguir, quando a razão das imagens serem iguais as duas serão proporcionais:



Estas duas imagens são proporcionais pois elas tem a mesma razão. Quando a razão for diferente da imagem original ela não irá ser proporcional.

Pesquisado em: http://talesepitagoras.blogspot.com.br/ dia 13/06/2014 as 15h45.

quinta-feira, 12 de junho de 2014

Tales de Mileto - Sua vida - Video do YouTube

Para quem quiser saber um pouco sobre a vida de Tales de Mileto.



Teorema de Tales - Matemática - Ens. Fund. - Telecurso

Segue um link com matéria postada no YouTube, com uma aula interessante sobre o Teorema de Tales.





Tales de Mileto: Respostas de perguntas de um sofista

Um sofista se aproximou de Tales de Mileto, um dos Sete Sábios da Grécia Antiga, e intentou confundi-lo com as perguntas mais difíceis. Porém o Sábio de Mileto esteve à altura da prova porque respondeu a todas as perguntas sem a menor vacilação e assim mesmo com a maior exatidão.

1a. Pergunta: - Qual é a coisa mais antiga?
Resposta de Tales:  Deus, porque sempre tem existido.

2a.- Qual é a coisa mais formosa?
Resp.: O Universo, porque é obra de Deus. 

3a. - Qual é a maior de todas as coisas?
Resp.|: O Espaço, porque contém todo o Criador.

4a. - Qual é a coisa mais constante?
Resp.: A esperança, porque permanece no homem depois que haja perdido todo o mais.

5a. - Qual é a melhor de todas as coisas?
Resp.: A Virtude, porque sem ela não existe nada de bom.

6a. - Qual é a mais rápida de todas as coisas?
Resp.: O Pensamento, porque em menos de um minuto pode-se voar até o final do Universo.

7a. - Qual é a mais forte de todas as coisas?
Resp.: A Necessidade, porque faz com que o homem enfrente todos os perigos da vida.

8a. - Qual é a mais fácil de todas as coisas?
Resp.: Dar conselhos. 

Porém, quando chegou à nona pergunta, o Sábio disse o que, para a maioria das pessoas terá um sentido superficial. A pergunta foi esta:

9 - Qual é a mais difícil de todas as coisas?

E o Sábio de Mileto replicou:

"Conhecer a si mesmo".


Sem indicação da autoria.

Tales de Mileto - As azeitonas

As azeitonas de Tales de Mileto
Notícias Superinteressantes

Um dos primeiros, se não o primeiro cientista da história ocidental foi o grego Tales, da cidade de Mileto, que se localizava onde hoje é a Turquia.
Ele viveu no século 6 antes de Cristo e, entre vários feitos previu um eclipse solar.
Sabia medir a altura de uma pirâmide pelo comprimento da sombra e a altura do sol no horizonte.
Foi o primeiro a elaborar teoremas matemáticos, 300 anos antes de Euclides, e tentou compreender o mundo sem invocar a intervenção dos deuses.
Apesar de tudo isso era muito censurado pela sua pobreza, o que para os seus contemporâneos era prova de que sua ciência não tinha utilidade.
Então, com os conhecimentos sobre a natureza, previu, com bastante antecedência, que uma safra próxima de azeitona seria excepcional; assim, passou a comprar grande quantidade e pagando antecipadamente um valor abaixo do mercado.
Na época da colheita, realmente o que previu aconteceu e, ele as vendeu por um bom dinheiro, tendo um excelente lucro.
Desse modo provou que até enriquecer se pode com o uso da ciência, embora pessoalmente ele tivesse outras ambições.


Contido em: http://super.abril.com.br/cotidiano/azeitonas-tales-mileto-438796.shtml

sábado, 7 de junho de 2014

Teorema de Tales - Proposta de Aula: Proporção aplicada à Geometria

Teorema de Tales: proporção aplicada à Geometria

Segmentos, paralelas, transversais e proporção. Relacione esses elementos e oriente o uso do teorema que ajuda no cálculo de medidas



Três paralelas cortadas por duas transversais, formando quatro segmentos. Essa imagem, como a do desenho à esquerda, é a representação mais clássica do teorema de Tales. Os exercícios escolares normalmente apresentam essa figura e dão valores a três dos quatro segmentos. O desafio do aluno é descobrir o segmento cuja medida é proporcional ao outro e encontrar o número desconhecido fazendo uso da regra de três. Se o professor não colocar novos problemas para serem resolvidos nas aulas, o ensino do teorema parece finalizado. Mas é possível ir além - afinal de contas, há aplicações muito mais amplas e instigantes (leia diversos problemas e possíveis equívocos na próxima página). Em linhas gerais, o teorema de Tales é a proporcionalidade aplicada à geometria. "Por isso, é essencial diagnosticar se os alunos entendem a ideia de proporcionalidade ou precisam consolidar conceitos geométricos", diz o professor Luiz Marcio Imenes, mestre em Educação Matemática e autor de livros didáticos. Como visto na primeira reportagem desta série, na edição de agosto de 2010, a proporcionalidade ocorre quando existe a mesma variação (chamada de razão) de valores em duas grandezas. Por exemplo: se a medida de um lado da figura dobra, o outro também deve dobrar. Quando um deles triplica, ocorre a mesma mudança com o outro. Uma forma de retomar o assunto é propor problemas em que exista ou não a proporcionalidade, ou casos em que as variações não são aleatórias. Também é fundamental garantir que os alunos entendam os termos geométricos usados em Tales (paralelas, transversais e segmentos). 

Passada essa etapa, introduza o teorema de Tales com a análise do desenho de um triângulo que tenha lados de medidas diferentes cortado na metade de sua altura por uma linha paralela à base. É possível ver que o lado que mede, digamos, 12 centímetros, ficará com duas partes de 6 centímetros e o lado de 18 centímetros vai ter outros dois segmentos com 9 centímetros. Em seguida, uma sugestão é mostrar o mesmo triângulo com uma paralela que cruze o desenho formando segmentos de 10 e 2 centímetros em um dos lados e 15 e 3 centímetros no outro. Diante desse contexto, a turma precisa descobrir qual a relação entre os segmentos e os lados. A chave será encontrar a razão de proporcionalidade entre os segmentos de um mesmo lado, o que é calculado dividindo 10 por 2 ou 15 por 3 (razão 5). Aí, então, discuta com os alunos uma regra básica do teorema de Tales: existe a proporção entre segmentos de transversais que são delimitadas por paralelas. 

De olho na proporção das figuras geométricas, os adolescentes podem encontrar diversas medidas (leia a sequência abaixo). Ao pedir que o aluno trace uma transversal de 4 centímetros e a divida em 3 e 1 centímetros por uma paralela, ele pode concluir que a outra transversal terá um segmento com tamanho três vezes maior que a outra. Esse e outros raciocínios são válidos - o importante é intermediar as discussões e tomar os erros e acertos como um material de debate com a turma.


Sequência Didática: Teorema de Tales em várias situações
Objetivo
- Usar o teorema de Tales na resolução de problemas. 

Conteúdos
- Geometria. 
- Proporcionalidade. 

Anos
8° e 9° anos do ensino fundamental.

Tempo estimado
10 a 14 aulas.

Material necessário 
Folhas pautadas, régua e calculadora.

Flexibilização
Para que alunos com deficiência visual possam acompanhar estas atividades é fundamental que você antecipe as etapas da sequência para o educador responsável pela sala de recursos. Assim, o aluno cego poderá desenvolver todo o material de apoio em relevo, sob orientação do educador e com mais tempo, para que chegue à classe bem preparado. Feito isso, o trabalho em sala pode ser realizado em duplas. Dessa forma, o aluno com deficiência visual conta com a ajuda de um colega para acompanhar as explicações do professor com relação às retas paralelas e transversais, podendo, inclusive - e com a ajuda de uma máquina braile e de esquadros - fazer seus próprios registros e propor novos exercícios. Com apoio do Atendimento Educacional Especializado proponha exercícios individuais para que o aluno resolva individualmente no contraturno. A avaliação pode ser feita na forma escrita, em Braile e transcrita com a ajuda do educador responsável.

Desenvolvimento
1ª etapa
Para discutir a proporcionalidade no teorema de Tales com os alunos, distribua folhas pautadas e peça que, aproveitando as linhas, tracem três retas paralelas e duas transversais interceptando-as (faça alguns modelos no quadro para que eles possam segui-los como base). Indique que marquem os pontos de intersecção formados, meçam os segmentos e dividam o valor de um pelo outro em cada transversal. Os quocientes das duas retas vão coincidir. Diga que aumentem o espaço entre as paralelas e refaçam os cálculos. Debata esses resultados: diga que o quociente é a razão da proporcionalidade (constante que permite saber a variação dos valores de duas grandezas) e peça que comparem os resultados entre si. Os quocientes das transversais desenhadas por cada aluno terão os mesmos valores. Apresente o conceito do teorema de Tales (que sempre existe a proporção entre segmentos de transversais delimitadas por paralelas).

2ª etapa
Entregue aos alunos um desenho que contenha retas paralelas (nomeie com r, s, t), transversais (u, v) e quatro segmentos formados por elas (apenas três deles devem ter valores conhecidos). Peça que calculem a resposta. Repita com outros valores.

3ª etapa
Apresente outro exemplo, em que as transversais se cruzem sobre a paralela do meio. Debata com a turma: quais segmentos são proporcionais? Solicite que justifiquem as respostas. Diga que acompanhem o percurso da transversal, notando que têm segmentos proporcionais mesmo quando estão em lados opostos.

4ª etapa
Proponha exercícios que tenham maior grau de dificuldade, incluindo conteúdos estudados anteriormente. Os valores dos segmentos podem ser substituídos por equações e frações. Alterne exercícios que precisem de estratégias variadas. Problemas que envolvam terrenos paralelos delimitados por ruas não paralelas ou mapas de quarteirões e transversais são exemplos.

5ª etapa
Finalize questionando as condições de aplicação do teorema. Peça que cada um construa um feixe de três retas não paralelas e duas transversais. Oriente que meçam os quatro segmentos formados, dividam um segmento pelo outro de cada transversal e anotem o resultado. Como os quocientes (que são as razões) serão diferentes, eles não formam uma proporção, o que impossibilita o uso do teorema.


Avaliação
Durante as aulas, note se os alunos acompanharam a escalada da dificuldade das propostas, se contribuíram nas discussões e se conseguiram resolver os problemas. Finalize o estudo do conteúdo com uma prova escrita para verificar se ainda restam dúvidas e quais são elas. Se necessário, retome os conceitos.

Pesquisado no site: 
http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/teorema-tales-proporcao-aplicada-geometria-594437.shtml
http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/teorema-tales-varias-situacoes-594399.shtml
em 07/06/2014 as 11h57min.