Produtos notáveis

Utilizados para simplificar as contas do produto algébrico, os produtos notáveis apresentam cinco casos distintos.

Antes de entendermos o que são produtos notáveis, devemos saber o que são expressões algébricas, isto é, equações que possuem letras e números. Veja alguns exemplos:

2x + 3 = 4
-y + 2x + 1 = 0
z² + ax + 2y = 3

Os produtos notáveis possuem fórmulas gerais, que, por sua vez, são a simplificação de produtos algébricos. Veja:

(x + 2) . (x + 2) =
(y – 3) . (y – 3) =
(z + 4 ). ( z – 4) =

Cinco casos de Produtos Notáveis

Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois termos.

quadrado = expoente 2;

Soma de dois termos = a + b;

Logo, o quadrado da soma de dois termos é: (a + b)²

Efetuando o produto do quadrado da soma, obtemos:

(a + b)² = (a + b) . (a + b) =

= a² + a . b + a . b + b² =

= a² + 2 . a . b + b²

Toda essa expressão, ao ser reduzida, forma o produto notável, que é dado por:

(a + b)² = a² + 2 . a . b + b²

Sendo assim, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(2 + a)² =
= 2² + 2 . 2 . a + a² =
= 4 + 4 . a + a²

(3x + y)² =
= (3 x)² + 2 . 3x . y + y² =
= 9x² +6 . x . y + y²

Segundo Caso: Quadrado da diferença de dois termos.

Quadrado = expoente 2;

Diferença de dois termos = a – b;

Logo, o quadrado da diferença de dois termos é: (a - b)².

Vamos efetuar os produtos por meio da propriedade distributiva:

(a - b)² = (a – b) . (a – b)
= a² – a . b – a . b + b² =
= a² – 2 .a . b + b²

Reduzindo essa expressão, obtemos o produto notável:

(a - b)² = a² – 2 .a . b + b²

Temos, então, que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(a – 5c)² =
= a² – 2 . a . 5c + (5c)² =
= a^{2 –} 10 . a . c + 25c²

(p – 2s) =
= p² – 2 . p . 2s + (2s)^{2 =}
= p² – 4 . p . s + 4s²

Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença de dois termos.

Produto = operação de multiplicação;

Soma de dois termos = a + b;

Diferença de dois termos = a – b;

O produto da soma pela diferença de dois termos é: (a + b) . (a – b)

Resolvendo o produto de (a + b) . (a – b), obtemos:

(a + b) . (a – b) =
= a² - ab + ab - b² =
= a² + 0 + b² = a² - b²

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a + b) . (a – b) = a² - b²

Podemos concluir, portanto, que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(2 – c) . (2 + c) =
= 2² – c² =
= 4 – c²

(3x² – 1) . (3x² + 1) =
= (3x²)² – 1² =
= 9x⁴ - 1

Quarto caso: Cubo da soma de dois termos

·         Cubo = expoente 3;

·         Soma de dois termos = a + b;

·         Logo, o cubo da soma de dois termos é: (a + b)³

Efetuando o produto por meio da propriedade distributiva, obtemos:

(a + b)³ = (a + b) . (a + b) . (a + b) =
= (a² + a . b + a . b + b²) . (a + b) =
= ( a² + 2 . a . b + b² ) . ( a + b ) =
= a³ +2. a² . b + a . b² + a² . b + 2 . a . b² + b³ =
= a³ +3 . a² . b + 3. a . b² + b³

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a + b)³ = a³ + 3 . a² . b + 3 . a . b² + b³

O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo.

Exemplos

(3c + 2a)³ =
= (3c)³ + 3 . (3c)² .2a + 3 . 3c . (2a)² + (2a)³ =
= 27c³ + 54 . c² . a + 36 . c . a² + 8a³

Quinto caso: Cubo da diferença de dois termos

·         Cubo = expoente 3;

·         Diferença de dois termos = a – b;

·         Logo, o cubo da diferença de dois termos é: ( a - b )³.

Efetuando os produtos, obtemos:

(a - b)³ = (a - b) . (a - b) . (a - b) =
= (a² - a . b - a . b + b²) . (a - b) =
= (a² - 2 . a . b + b²) . (a - b) =
= a³ - 2. a² . b - a . b² - a² . b + 2 . a . b² - b³ =
a³ - 3 . a² . b + 3. a . b² - b³

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a - b)³ = a³ - 3 . a² . b + 3 . a . b² - b³

O cubo da diferença de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.

Exemplo:

(x - 2y)³ =
= x³ - 3 . x² . 2y + 3 . x . (2y)² – (2y)³ =
x³ - 6 . x² . y + 12 . x . y² – 8y³

TEOREMA DE FERMAT

Pierre de Fermat (1601-1665), jurista de profissão, foi um matemático que ficou conhecido em particular pelo seu trabalho na teoria dos números. O famoso "Último Teorema de Fermat" afirma que não há solução para a equação 

xn+yn=zn, se n for um inteiro maior do que 2 e (x,y,z) naturais (inteiros >0).

No seu exemplar da "Aritmética" de Diofanto, Fermat escreve numa margem aquele enunciado e diz que tem uma demonstração, mas que ela não cabe na margem. Esta conjectura ficou por demonstrar e constituiu um verdadeiro desafio para os matemáticos ao longo dos tempos, apesar de parecer simples e o enunciado ser fácil de entender. Ao longo destes séculos, houve inúmeras pessoas que anunciaram terem demonstrado a conjectura, mas foram sendo encontrados erros, na maior parte dos casos bastante grosseiros.

Até que, em Junho de 1993, Andrew Wiles, matemático inglês a trabalhar na Universidade de Princeton (Estados Unidos), apresenta, no famoso seminário anual de matemática em Cambridge, o que considera ser a demonstração do último teorema de Fermat, resultado de um trabalho de 7 anos. Mas é descoberta uma falha nessa demonstração, que ocupava aproximadamente 200 páginas. Com a colaboração de Richard Lawrence Taylor, da Universidade de Cambridge (no Reino Unido), Wiles consegue corrigir o erro e em Outubro de 1994 apresenta essa correção. Fica assim concluída a demonstração do chamado último teorema de Fermat, cerca de 350 anos após ter sido enunciado. É curioso que este resultado, mesmo antes de provado, tenha sido sempre conhecido pela designação de último teorema de Fermat em vez de última conjectura de Fermat, como teria sido mais natural.

O applet permite-nos uma leitura geométrica desse enunciado. No applet mostra-se uma superfície que é a representação gráfica dos pontos da forma (x,y,z) em que xn+yn=zn, com n natural *, e um plano horizontal (formado pelos pontos (x,y,0), no qual estão ainda desenhadas a branco as linhas que correspondem a x inteiro e as que correspondem a y inteiro. Os vértices dos quadrados brancos são, pois, precisamente os pontos do plano com ambas as coordenadas inteiras. Na superfície, está desenhada a amarelo uma das curvas de nível**, de altura inteira (z é aqui considerada a altura). A curva de nível é modificável no applet - ver Ajuda-Fermat. Vê-se também no applet a projeção da curva de nível no plano horizontal. Estão ainda marcados os pontos da superfície que têm todas as coordenadas inteiras, e linhas verticais unindo-os às respectivas projeções no plano horizontal. Inicialmente, n é igual a 2 e o applet tem o seguinte aspecto:

Os pontos marcados na superfície representam as soluções inteiras (ou só as inteiras positivas, no caso de estar selecionada a opção ) da equação xn+yn=zn, com n natural. Repare-se que os referidos pontos são precisamente aqueles que estão numa curva de nível de altura inteira e se projetam num vértice de um quadrado branco do plano. Dito por outras palavras, cada solução inteira da equação anterior corresponde a um vértice de um quadrado branco por onde passar uma das curvas amarelas (projeção de uma curva de nível de altura inteira).

Nota: Nas figuras assinaladas com  , se passar o rato por cima verá um gif animado.

Para n=4 e Limite=3.0

Tanto os pontos como as linhas podem ser de cor cinzenta ou preta. Os pontos cinzentos são as soluções em que pelo menos uma das coordenadas é zero. Para qualquer n natural, a equação xn+yn=zn tem uma infinidade de soluções desse tipo, por exemplo (a,0,a), com a natural. Daí que, para qualquer n natural, encontram-se sempre pontos e as respectivas linhas a cor cinza. No entanto, tal facto não contradiz o enunciado do teorema de Fermat, pois estes pontos, embora sejam soluções inteiras da equação xn+yn=zn, não têm as coordenadas todas positivas. Experimente seleccionar a opção  do menu ,a superfície ficará representada para valores positivos, e repare que assim nunca haverá pontos e linhas a cor cinza.

Para n=3 e Limite=4.

Os pontos de cor preta representam as soluções inteiras em que todas as coordenadas são diferentes de zero, isto é, o ponto preto está numa curva de nível de altura inteira e projecta-se no vértice de um quadrado branco, que não esteja no plano x=0 nem no plano y=0. De acordo com o teorema de Fermat, só existem pontos pretos quando n=2.

Curva de nível de altura 5, para n=2.

*No applet, quando n é par, não está representada a parte da superfície em que z é negativo, que é simétrica relativamente ao plano.
**Uma curva de nível é o lugar geométrico dos pontos da superfície que estão à mesma altitude.

Contido em: http://www.atractor.pt/jars/fermat/ajuda/stereoP/descri/teoremaFermat.htm, pesquisado em 17/03/2016 as 19h00.