domingo, 28 de dezembro de 2014

Derivadas

É necessário, em todo o cálculo matemático ter a noção teórica de cada tema no qual trabalhamos; isso porque; imaginemos que, para os estudantes até ao 12º ano a relevância destes conceitos acaba por ser desprezada visto que a prática, em termos reais é mais conclusiva que a própria teoria.
Mas, isso só funciona desde que tenhamos sempre presente um professor que auxilie o raciocínio. 
A questão é: quando necessitar implementar ou criar alguma aplicação matemática o conhecimento teórico traduz a opção ou o método a adotar. Por ex: se devemos usar derivadas, limites, integrais, sistemas de equações para satisfação dos critérios físico/matemáticos do cálculo em causa.

Definição de derivadas

Derivadas: por definição as derivadas representam a taxa de variação de uma função....

Derivadas (individual, obtida empiricamente): como o próprio nome indica "derivada" traduz de onde provêm uma função qualquer ou de onde ela deriva/ou, o que lhe deu origem, etc...
Assim a adoção deste segundo conceito pode levar a escolha certa do cálculo em causa, dependendo, da interpretação que lhe é atribuída.

Regras de derivação


Derivadas Essenciais

Regra nº 1: (k' = 0) - Derivada de uma constante:
Segundo a regra assume-se k como sendo uma constante, simplificando; uma constante é um número qualquer (pertencente a qualquer dos conjuntos de números).
Exemplo:  
A derivada de uma constante (k) é sempre igual a 0.

 Regra nº 2: (x' = 1) - Derivada de x:
Assume-se x como a variável de uma função; em uma função a variável poderá ser definida por outra letra qualquer normalmente é usada a letra x.
Exemplo:                  
A derivada da variável (usualmente X) é sempre igual a 1.
Regra nº 3: (k . x' = k) - Derivada de uma constante multiplicada por x:
A derivada da multiplicação entre uma constante e a variável x é igual a própria constante como se pode verificar no exemplo abaixo onde é utilizada a regra nº 7 (derivada da multiplicação). 
Exemplo:

A derivada de uma Constante vezes X é sempre igual a Constante.
Nota: Atenção aos casos em que x apresenta um grau maior que 1 quando assim for a regra a utilizar será a regra nº4.

Regra nº 9: (k' = 0) - Derivada da potência de base x:
Alpha é igual ao grau da função derivada, repare que o grau da potência decrescente sempre em -1 relativamente a potência inicial.
Exemplo: 
A derivada da potencia de base X é sempre igual ao grau da potência inicial, multiplicado pela base cujo grau decresce em  -1 unidade. 
Exercícios:
 1. Calcule a derivada da função exponencial:     


Desta forma, iremos mostrar ou explicar como resolver as derivadas indo diretamente a fórmula ou regras necessárias.
Comecemos com a resolução detalhada do exercício 1.; que é uma função exponencial.

Resolução:

Nota: Normalmente, o cálculo de uma derivada é efetuado segundo uma conjugação ou combinação de regras de derivação.

2. Calcule a derivada da função potência de base constante igual a 5:
 

3. Calcule a derivada da função raiz de índice 3: 

4. Derivada do Logaritmo:
4.1.






Contido em: aprendermmatematica.blogspot.com/p/derivadas.html; pesquisado em 28/12/2014 as 12h00.
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segunda-feira, 22 de dezembro de 2014

O Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Pascal, o que justifica o nome que lhe é dado.





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35
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...
Este triângulo forma-se de forma recursiva, ou seja, as diagonais de fora são formadas por 1's, os restantes números são a soma dos números acima. Como exemplo podemos dizer que: 10=4+6 (10-linha 5; 4 e 6-linha 4).
NOTA: Considera-se que o topo do triângulo corresponde à linha 0, coluna 0.
Apresentando a fórmula matemática para esta propriedade:
sendo n o número de linhas e k o número de colunas dessa linha onde o número está (não se conta com o topo do triângulo, pois numa sucessão definida por recorrência tem que existir uma condição inicial, tal é 1).
Tal fórmula prova-se por indução matemática em n.

Uma outra consequência é a soma dos elementos de uma linha.
Pascal ao constatar este resultado particularizou o método da indução para um determinado valor e disse que o mesmo sucederia para os restantes.
A 20ª consequência que Blaise Pascal retirou do triângulo foi a seguinte:
Também esta fórmula pode ser demonstrada usando o método da indução. 
Com as 20 consequências que Pascal retirou do triângulo, foi-lhe possível chegar ao resultado
Usando o método da indução, ele chegou ainda à conclusão que
ou seja, ao número de combinações de n elementos k a k.
Também mostrou que as linhas do triângulo correspondem aos coeficientes da potência de a na expansão de
 
Pascal relaciona o triângulo aritmético com a teoria das probabilidades da qual foi também pioneiro.

Outras propriedades do triângulo de Pascal 







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106
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...
É de realçar que o triângulo é simétrico. Por isso os elementos  equidistantes aos extremos do triângulo iguais, ou seja em linguagem matemática, nCp= nCn-p com n, pÎN0, n³p.
Encontramos também os números naturais aqui, na 2ª diagonal. Quando um deles for primo (isto é, apenas divisível por ele próprio e por 1) então todos os elementos dessa linha, excluindo o 1, são divisíveis por ele.
Temos como exemplo na linha 7:
1   7   21   35   35   21   7   1
como 7 é primo então 7, 21 e 35 são divisíveis por ele.


Como Pascal observou, a soma de cada linha é uma potência de 2.
Assim temos|:
Linha 0: 20=1

Linha 1: 21=2
  
Linha 2: 22=4

Linha 3: 23=8 e, assim por diante.
...



Podemos verificar também que existem potências de 11, neste triângulo.
Linha 0:  110=1(100)=1
Linha 1:  111=1(101)+1(100)=10+1=11
Linha 2:  112=1(102)+2(101)+1(100)=100+20+1=121
Linha 3:  113=1(103)+3(102)+3(101)+1(100)=1000+300+30+1=1331
Linha 4:  114=1(104)+4(103)+6(102)+4(101)+1(100)=14641

Concluímos assim que:
 
  • a maior potência de cada soma corresponde a linha que estamos a considerar;
  • os coeficientes das potências são os elementos da linha em questão;
  • a potência de 11 corresponde à maior potência apresentada na soma, ou seja, o número da linha.





Na 3ª diagonal encontramos os números triangulares, estes pertencem à categoria dos números figurados (descobertos por matemáticos das escolas pitagóricas) pois formam figuras geométricas, neste caso triângulos como é exemplificado:
 
É de notar que estes números são alternadamente dois ímpares dois pares, podendo ser alcançados através de sucessões por recorrência através da fórmula T(n)= n(n+1)/2 (a partir dos n-1 elementos conseguimos alcançar o elemento n).
Como a partir dos números triangulares se podem obter os números hexagonais H(n)=n(2n-1), é possível vê-los aqui também.
Esta diagonal contém ainda os números quadrados, pois se somarmos o primeiro elemento ao segundo (1+3) obtemos o 4 que é um número quadrado, ao somarmos o segundo ao terceiro elemento (3+6) ficamos com o número 9, também ele um número quadrado, e assim por diante. Para além do que estamos habituados a fazer (a2) podemos também representar estes números sobre a forma geométrica
 

Na 4ª diagonal podemos observar mais alguns números figurados tais como os números tetraédricos (1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, ...). Estes, de acordo com os esquemas anteriores também representam formas geométricas, neste caso um tetraedro (pirâmide regular com base triangular).
A sua fórmula é:
sendo o seu termo geral :
 



Pode-se observar no triângulo alguns padrões:
Padrão do Stick de Hóquei








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...
Neste padrão verifica-se que um certo número de uma diagonal somados equivale ao número imediatamente abaixo, não estando nessa mesma diagonal.
Pode-se constatar tal resultado através de uma fórmula combinatorial, bastante útil:

Padrão da espiga










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126
126
84
36
9
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210
252
210 120
45
10
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Considerando as diagonais do Triângulo. Pode-se verificar que a soma dos primeiros n elementos da n-ésima diagonal é igual ao (n+1)-ésimo elemento dessa mesma diagonal. É interessante observar que esses elementos das diagonais vão estar todos numa coluna.

Relacionados com este padrão aritmético estão também os números de Fibonacci.








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...
Assim podemos ver 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... que correspondem aos números de Fibonacci, podendo também ser obtidos por recorrência a partir da seguinte fórmula:
 F(1)=F(2)=1
F(n)=F(n-1)+F(n-2)





Números de Catalan
Se aos elementos centrais do triângulo os dividíssemos pelos números naturais respectivamente, obteríamos a sucessão:
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, ...
que se chamam números de Catalan.
Assim genericamente temos:
Cn = [1/(n+1)] x 2nCn = (2n)! /(n!(n+1)!)



O triângulo de Sierpinsky
Este triângulo é um fractal, ou seja, é um processo recursivo, que neste caso, em particular se vai repetindo o número de triângulos equiláteros.
Se ao triângulo de Pascal apagarmos os números ímpares o resultado é um triângulo de Sierpinsky, o mesmo sucede se em vez dos pares tivermos os ímpares. Ora vejamos,












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126
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210
120
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462
462
330
165
55
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De modo análogo teríamos para os números ímpares.
Para quem quiser explorar mais o triângulo de Pascal aconselhamos que tente, de modo análogo ao que fizemos, pintar todos os divisores de 3, e de 4, et cetera. Verifica-se um certo padrão, que deixamos ao encargo do leitor a sua descoberta...

Contido em:  http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/pascal.htm; pesquisado em 22/12/2014 as 11h00.
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