Fatoração: 4º caso/Trinômio do tipo x² + Sx + P e 5º caso/Diferença de dois quadrados

Trinômio do tipo x² + Sx + P: O quarto caso de fatoração, assim como o terceiro, é a fatoração de uma expressão algébrica em forma de trinômio.

A diferença dos dois é que nesse quarto caso o trinômio não tem que formar um quadrado perfeito e sim somar o produto dos dois últimos termos, por isso que é chamado de trinômio do tipo x² + Sx + P, onde S é soma e P é produto.

Veja os exemplos: Dada a expressão algébrica y² – 5y + 6, sabemos que é um trinômio, mas os seus dois membros das extremidades não estão elevados ao quadrado, assim descarta a possibilidade de ser quadrado perfeito.
Então, o único caso de fatoração que podemos utilizar para fatorar essa expressão algébrica é x² + Sx + P. Dada a expressão y² – 5y + 6, observe se ela está em ordem decrescente de seus expoentes (do maior para o menor), se estiver basta achar dois números que somados resultem em -5 e que o produto deles resulte em 6.

Vamos fazer as tentativas para que o produto resulte em 6:

2 . 3 = 6                 (- 2) . (- 3) = 6                         6 . 1= 6                      - 6 . (- 1) = 6

Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê -5. Concluímos que -2 + (-3) = -5, portanto a forma fatorada desse trinômio será:

(y – 2) (y – 3).

Dada a expressão m² + 7m – 8, devemos achar dois números que somados resulte 7 e o produto deles seja -8. Verificamos as possibilidades do produto resultar em - 8:

- 1 . 8 = - 8                1 . (-8) = - 8                             4 . (- 2) = - 8          - 4 . 2 = - 8

Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê 7. Concluímos que -1 + 8 = 7, portanto a forma fatorada desse trinômio será:

(m – 1) (m + 8).

Dado a expressão x² + 4x – 12, devemos achar dois números que somados resulte em 4 e o produto do mesmo seja – 12. Verifiquemos as possibilidades de o produto resultar em -12:

1 .(-12) = -12           -1 . 12 = -12                          6 . (-2) = -12                 - 6 . 2 = -12

Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê 4. Concluímos que 6 +(- 2) = 4, portanto a forma fatorada desse trinômio será:

(x + 6) (x – 2)

Diferença de dois quadrados: O quinto caso de fatoração é mais uma forma de fatorar expressões algébricas. Esse caso de fatoração só pode ser utilizado em expressões algébricas que possuem dois monômios e os mesmos devem estar elevados ao quadrado (elevados à quinta potência). 

Chegamos à conclusão que a diferença de dois quadrados pode ser utilizada, quando: 

-Tivermos uma expressão algébrica com dois monômios (sejam binômios). 
- Os dois monômios forem quadrados. 
- A operação entre eles for de subtração. 

Veja alguns exemplos de expressões algébricas que seguem esse modelo: 


• a² - 16 

• 1 – a² 
  3 

• 4x² – b² 


Como fazer essa fatoração 

Dada a expressão algébrica 9x² – 81, veja os passos que devemos tomar para chegarmos à forma fatorada utilizando o 5º caso de fatoração. 




A forma fatorada será (3x – 9) (3x + 9). 

Veja alguns exemplos: 

Exemplo 1: 
A expressão algébrica x² – 4 é uma expressão com dois monômios e as raízes quadradas são respectivamente x e 2, então a sua forma fatorada é (x – 2) (x + 2). 


Exemplo 2: 
Dada a expressão algébrica 16x² – 25, a raiz dos termos 16x2 e 25 é respectivamente 4x e 5. Então, a forma fatorada é (4x – 5) (4x + 5). 

Exemplo 3: 
Dada a expressão algébrica 36x² – 81y², a raiz dos termos 36x2 e 81y2 é respectivamente 6x e 9y. Então, a forma fatorada é (6x – 9y) (6x + 9y). 



Contido em: http://www.mundoeducacao.com/matematica/4-caso-fatoracao-trinomio-tipo-x-sx-p.htm, e http://www.mundoeducacao.com/matematica/5-caso-fatoracao-diferenca-dois-quadrados.htm
, pesquisado em 16/12/2014 as 12h00.