Binômio de Newton

Binômio de Newton foi definido pelo físico e matemático Isaac Newton, esse estudo veio para complementar o estudo de produto notável.

Produto notável diz que um binômio elevado ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro monômio mais duas vezes o primeiro, vezes o segundo monômio mais o quadrado do segundo monômio.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Essa forma só é válida se o binômio for elevado ao quadrado (potência 2), se ele estiver elevado à potência 3, devemos fazer o seguinte:

(a + b)³ é o mesmo que (a + b)² . (a + b), como sabemos que (a + b)² = a² + 2ab + b², basta substituirmos:

(a + b)³ =

(a + b)² . (a + b) =

(a² + 2ab + b²) . (a + b) =

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 

E se for elevado à quarta, à quinta, à sexta potência, devemos utilizar sempre o binômio elevado à potência anterior para resolver.

O binômio de Newton veio pra facilitar esses cálculos, pois com ele calculamos a enésima potência de um binômio.

Algumas situações matemáticas precisam, para serem resolvidas, de algumas técnicas de resolução, outras podemos desenvolver aplicando algumas generalizações, o Binômio de Newton é uma dessas generalizações que usamos na expressão (a+b)ⁿ, com n > 3, no intuito de desenvolvê-la por completo.
Ao desenvolvermos expressões desse tipo sem o uso da forma binomial de Newton teremos muito trabalho, veja:
Desenvolver a expressão (a + 6)⁴.

(a+6)*(a+6)*(a+6)*(a+6), a propriedade distributiva da multiplicação pode se tornar meio confusa, ocasionando erros no desenvolvimento da expressão.

Podemos escrever a expressão (a+b)ⁿ da seguinte forma:

Vamos aplicar a expressão Binomial de Newton no desenvolvimento da expressão (2x+3)⁵

Podemos notar a praticidade e organização do desenvolvimento da expressão (2x+3)⁵ pela forma do termo geral do Binômio de Newton.
O desenvolvimento da expressão que possui o sinal negativo  (a-b)ⁿ  deve ser efetuado do mesmo modo, alternando somente os sinais, iniciar com sinal positivo e alternar com o negativo. A expressão (2x – 3)⁵teria o seguinte desenvolvimento:

O Triângulo de Pascal possui várias nomenclaturas: chamado pelos italianos de Triângulo de Tartaglia, pelos chineses de triângulo de Yang Hui e encontramos outras denominações como triângulo de Tartaglia - Pascal ou simplesmente triângulo aritmético ou triângulo combinatório.

Todos esses triângulos são formados por coeficientes binomiais (números binomiais), a sua organização é feita da seguinte forma:

• Todos os coeficientes de mesmo numerador são colocados na mesma linha.

• Todos os coeficientes de mesmo denominador são colocados na mesma coluna.

Veja como ficaria a construção do triângulo de Pascal:

Cada coeficiente binomial que forma o Triângulo de Pascal possui um valor numérico encontrado através: dos casos particulares dos coeficientes, das suas propriedades ou da fórmula da combinação. Veja como ficaria o Triângulo de Pascal com seus valores numéricos:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1 . .

Contido em: http://www.brasilescola.com/matematica/binomio-de- newton.htm;  http://www.brasilescola.com/matematica/binomio-newton; e htmhttp://www.brasilescola.com/matematica/triangulo-pascal.htm; pesquisado em 21/12/2014 as 12h00.