Matemáticos de Mogi: julho 2014

Proporção

é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:

A/B=C/D

Propriedades das proporções

Propriedade 1: Qualquer que seja a proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Propriedade 2: Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente. Temos então:

Propriedade 3: Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo. Então temos:

QUARTA PROPORCIONAL
DADOS TRÊS NÚMEROS A, B, E C, CHAMAMOS DE QUARTA PROPORCIONAL O QUARTO NÚMERO X QUE JUNTO A ELES FORMAM A PROPORÇÃO:

Tendo o valor dos números a, b, e c, podemos obter o valor da quarta proporcional, o número x, recorrendo à propriedade fundamental das proporções. O mesmo procedimento utilizado na resolução de problemas de regra de três simples.

TERCEIRA PROPORCIONAL

EM UMA PROPORÇÃO ONDE OS MEIOS SÃO IGUAIS, UM DOS EXTREMOS É A TERCEIRA PROPORCIONAL DO OUTRO EXTREMO:

Na proporção acima a é a terceira proporcional de c e vice-versa.

Exercícios resolvidos

1) A soma de dois números é igual a 240. Sabe-se que um deles está para 5, assim como o outro está para 7. Quais são estes números?

Resolução: Para a resolução deste exemplo utilizaremos a quinta propriedade das proporções. Chamando um dos números de a e o outro de b, podemos montar a seguinte proporção:

Sabemos que a soma de a com b resulta em 240, assim como a adição de 5 a 7 resulta em 12. Substituindo estes valores na proporção teremos:

Portanto:

Resposta: Concluímos então que os dois números são 100 e 140.

2) (UERE1102/070-AssistAdministrativoII - 2012) – Segundo uma reportagem, a razão entre o número total de alunos matriculados em um curso e o número de alunos não concluintes desse curso, nessa ordem, é de 9 para 7. A reportagem ainda indica que são 140 os alunos concluintes desse curso. Com base na reportagem, pode-se afirmar, corretamente, que o número total de alunos matriculados nesse curso é
(A) 180.
(B) 260.
(C) 490.
(D) 520.
(E) 630.

3) (VNSP1214/001-AssistenteAdministrativo-I – 2012) – Em uma padaria, a razão entre o número de pessoas que tomam café puro e o número de pessoas que tomam café com leite, de manhã, é 2/3. Se durante uma semana, 180 pessoas tomarem café de manhã nessa padaria, e supondo que essa razão permaneça a mesma, pode-se concluir que o número de pessoas que tomarão café puro será:

(A) 72.

(B) 86.

(D) 105.

(E) 112.

4) Quatro números, todos diferentes de zero, 10, 8, 25 e x formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor de x?
Resolução: Seguindo o explicado na propriedade 1 temos:
Resolução de exemplo com a quarta proporcional

Resolução de exemplo com a quarta proporcional

O valor do número x é: 20. ____________________________________________________________________

5) Calcule o valor da seguinte proporção:

Resolução:

6 * (x + 1) = 2 * 18
6x + 6 = 36
6x = 36 – 6
6x = 30
x = 30/6
x = 5

____________________________________________________________________
6) Dois números a e b diferem entre si em 18 unidades. a está para b, assim como 825 está para 627. Qual o valor de a e de b?

Resolução: Da segunda propriedade das proporções temos:

Sabemos que a diferença entre a e b resulta em 18, assim como 825 menos 627 resulta em 198. Substituindo tais valores na proporção temos:

Para calcularmos o valor de a temos:

Portanto:

75 e 57 respectivamente se referem ao valor de a e de b

7) (FAPE1201/001-AnalistaAdministrativo – 2012) – Em uma fundação, verificou-se que a razão entre o número de atendimentos a usuários internos e o número de atendimento total aos usuários (internos e externos), em um determinado dia, nessa ordem, foi de . Sabendo que o número de usuários externos atendidos foi 140, pode-se concluir que, no total, o número de usuários atendidos foi

(A) 84.
(B) 100.
(C) 217.
(D) 280.
(E) 350.

8) (SPTR1101/009-TécnicoInformática – 2012) – Em uma concessionária de veículos, a razão entre o número de carros vermelhos e o número de carros prateados vendidos durante uma semana foi de 3/11. Sabendo-se que nessa semana o número de carros vendidos (somente vermelhos e prateados) foi 168, pode-se concluir que, nessa venda, o número de carros prateados superou o número de carros vermelhos em

(A) 96.
(B) 112.
(C) 123.
(D) 132.
(E) 138.

9) Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção .
Resolução: Pela propriedade 3 temos que:

x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30.
Logo, x=30 e y=12.

10) Relativamente aos tempos de serviço de dois funcionários do Banco do Brasil, sabe-se que sua soma é 5 anos e 10 meses e que estão entre si na razão 3/2.
Nessas condições, a diferença positiva entre os tempos de serviço desses funcionários é de:
a) 2 anos e 8 meses
b) 2 anos e 6 meses
c) 2 anos e 3 meses
d) 1 ano e 5 meses
e) 1 ano e 2 meses

Resolução: 5 anos e 10 meses = (5*12 + 10) meses = 70 meses

x + y = 70

x/y = 3/2

x = 3y/2

3y/2 + y = 70

3y + 2y = 140

y = 140/5

y = 28

x = 70 - 28

x = 42

Diferença positiva = 42 - 28 = 14

A diferença é de 1 ano e 2 meses <==== RESPOSTA Letra E.

11) A soma de dois números é igual a 240. Sabe-se que um deles está para 5, assim como o outro está para 7. Quais são estes números?

Resolução: Para a resolução deste exemplo utilizaremos a segunda propriedade das proporções. Chamando um dos números de a e o outro de b, podemos montar a seguinte proporção:

Sabemos que a soma de a com b resulta em 240, assim como a adição de 5 a 7 resulta em 12. Substituindo estes valores na proporção teremos:

Portanto:

Concluímos então que os dois números são 100 e 140.

12) Quatro números, todos diferentes de zero, 10, 8, 25 e x formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor de x?

Resolução: Seguindo o explicado sobre a quarta proporcional temos:

O valor do número x é 20.

13) Para cada 2 automóveis que vende, Carlos ganha R$ 200,00 de comissão. Quanto ele recebeu de comissão no mês que vendeu 15 automóveis?

Resolução:

2x = 3000
x = 3000 / 2
x = 1500

Carlos recebeu R$ 1.500,00 de comissão pela venda de 15 automóveis.

14) Um relógio atrasa 5 minutos a cada 8 horas. Quanto tempo ele atrasará em 4 dias?

Resolução: 8 horas = 8 * 60 minutos = 480 minutos

4 dias = 4 * 24 = 96 horas = 5760 minutos

480x = 28800
x = 28800 / 480
x = 60 minutos

Portanto, o relógio atrasará 60 minutos, ou seja, 1 hora.

15) (SEED0802/01-AgOrgEscolar – 2009) – Paulo acertou 75 questões da prova objetiva do último simulado. Sabendo-se que a razão entre o número de questões que Paulo acertou e o número de questões que ele respondeu de forma incorreta é de 15 para 2, e que 5 questões não foram respondidas por falta de tempo, pode-se afirmar que o número total de questões desse teste era

(A) 110.

(B) 105.

(D) 95.

(E) 90.

16) (CORM1001/07-AssistTécAdm-OpTel – 2011) – Em uma sala de aula, a razão entre meninos e meninas é de 3 para 7, nesta ordem. Em agosto, entraram mais 3 meninos nessa sala, mas uma menina mudou de colégio e isso fez com que a razão entre meninos e meninas agora fosse de 3 para 5. O número total de alunos dessa sala, em agosto, após essas mudanças, passou a ser de

(A) 28.

(B) 30.

(D) 34.

(E) 38.

17) Três pessoas formaram uma sociedade, A entrou com R$ 24.000,00; B com R$ 30.000,00 e C com R$ 36.000,00. Depois de três meses tiveram um lucro de R$ 60.000,00. Calcule o lucro de cada sócio.

Resolução: Para cada sócio, a razão entre o lucro e o dinheiro investido é igual a razão entre o lucro total da sociedade e o total investido pela sociedade. Então, temos a proporção:
divisão proporcional

Assim, A/24000 = B/30000 = C/36000 = 2/3.
Logo: A = R$ 24.000,00 × 2/3 = R$ 16.000,00 ; B = R$ 30.000,00 × 2/3 = R$ 20.000,00 ; C = R$ 36.000,00 × 2/3 = R$ 24.000,00.

18) O peso de uma sacola em kg está para o peso de uma outra sacola também em kg, assim como 32 está para 28. Quanto pesa cada uma das sacolas, sabendo-se que juntas elas pesam 15kg?

Resolução: Identifiquemos o peso da primeira sacola por a e o peso da segunda por b. Como expresso no enunciado, temos que a está para b, assim como 32 está para 28. Da segunda propriedade das proporções temos que:

Temos que a e b somados resultam em 15, assim como 32 mais 28 resulta em60. Substituindo-os na proporção temos:

Calculemos o valor de b:

Portanto: Uma das sacolas pesa 8kg ao passo que a outra pesa 7kg.

19) Dois números a e b diferem entre si em 18 unidades. a está para b, assim como 825 está para 627. Qual o valor de a e de b?

Resolução: Da segunda propriedade das proporções temos:

Sabemos que a diferença entre a e b resulta em 18, assim como 825 menos 627 resulta em 198. Substituindo tais valores na proporção temos:

Para calcularmos o valor de a temos:

Portanto: 75 e 57 respectivamente se referem ao valor de a e de b.

Fontes: www.matematicadidatica.com.br/

www.mundoeducacao.com/

www.profjosimar.com.br/

Pesquisado em: http://tudodeconcursosevestibulares.blogspot.com.br/2012/11/proporcao-propriedades.html, em 20/07/2014 as 9h00.

Exercícios resolvidos-Proporcionalidade Direta e Inversa

1.) O André comprou com 15% de desconto uma televisão que custava R$ 200. Quanto pagou o André pela televisão?

$\frac{{100}}{{200}} = \frac{{15}}{x} \Leftrightarrow x = \frac{{200 \times 15}}{{100}} \Leftrightarrow x = \frac{{3000}}{{100}} \Leftrightarrow x = 30$

200 – 30 = 170

Resposta: André pagou R$ 170 pela televisão.

2.) A Maria leu 19 páginas de um livro de 95 páginas. Qual a porcentagem de páginas que a Maria já leu?

$\frac{{100}}{{95}} = \frac{x}{{19}} \Leftrightarrow x = \frac{{100 \times 19}}{{95}} \Leftrightarrow x = \frac{{1900}}{{95}} \Leftrightarrow x = 20$

Resposta: Maria já leu 20% do livro.

3.) A Rita ganhava por mês R$ 900. Foi aumentada em 10%. Quanto passou a ganhar?

$\frac{{100}}{{900}} = \frac{{10}}{x} \Leftrightarrow x = \frac{{900 \times 10}}{{100}} \Leftrightarrow x = \frac{{9000}}{{100}} \Leftrightarrow x = 90$

900 + 90 = 990

Resposta: Rita passou a ganhar R$ 990.

4.) Dona Mariana comprou uma camisola por R$ 20 e vendeu-a por R$ 28. Qual foi a porcentagem de lucro?

28 – 20 = 8

$\frac{{100}}{{20}} = \frac{x}{8} \Leftrightarrow x = \frac{{100 \times 8}}{{20}} \Leftrightarrow x = \frac{{800}}{{20}} \Leftrightarrow x = 40$

Resposta: O lucro foi de 40%.

5.) Num movimento, o espaço percorrido é diretamente proporcional ao tempo, mantendo-se constante a velocidade, isto é,

${\text{velocidade m\'e dia = }}\frac{{{\text{espa\c{c}o}}}}{{{\text{tempo}}}}$

a. O José deslocou-se no seu automóvel durante 4 horas, a uma velocidade média de 90 km/h.

Qual o espaço percorrido?

b. Qual é a velocidade média de um automóvel que percorre 150 km em 1h30min?

Resolução:
a. $90 = \frac{e}{4} \Leftrightarrow e = 360$

Resposta: O espaço percorrido foi de 360 km.

b. 1h30min = 1,5 h

$v = \frac{{150}}{{1,5}} = 100$

Resposta: A velocidade média foi de 100 km/h.

6.) Observe as tabelas seguintes e averigue se existe proporcionalidade direta, inversa ou não existe nenhum tipo de proporcionalidade.

6.1.

6.2.

6.3.

Resolução:

6.1.)     $4 \times 12 \ne 5 \times 13$

Resposta: Não existe proporcionalidade inversa.

             $\frac{4}{{12}} \ne \frac{5}{{13}}$

Resposta: Não existe proporcionalidade direta.

6.2.)   $0,5 \times 4 = 1 \times 2$

Resposta: x e y são inversamente proporcionais.

6.3.)       $\frac{2}{6} = \frac{3}{9}$

Resposta: x e y são diretamente proporcionais.

7.) Nas tabelas seguintes, as variáveis x e y são inversamente proporcionais. Complete-as e indique a constante de proporcionalidade.

7.1.

7.2.

Resolução:

7.1.) $0,16 \times 1,25 = 0,5 \times x \Leftrightarrow 0,2 = 0,5x \Leftrightarrow x = \frac{{0,2}}{{0,5}} \Leftrightarrow x = 0,4$

$0,16 \times 1,25 = x \times 0,04 \Leftrightarrow 0,2 = 0,04x \Leftrightarrow x = \frac{{0,2}}{{0,04}} \Leftrightarrow x = 5$

$0,16 \times 1,25 = 10 \times x \Leftrightarrow 0,2 = 10x \Leftrightarrow x = \frac{{0,2}}{{10}} \Leftrightarrow x = 0,02$

Resposta: A constante de proporcionalidade é igual a 0,2.

7.2.) $- 12 \times 2 = - 2 \times x \Leftrightarrow - 24 = - 2x \Leftrightarrow x = \frac{{ - 24}}{{ - 2}} \Leftrightarrow x = 12$

$- 12 \times 2 = - 4 \times x \Leftrightarrow - 24 = - 4x \Leftrightarrow x = \frac{{ - 24}}{{ - 4}} \Leftrightarrow x = 6$

$- 12 \times 2 = 8 \times x \Leftrightarrow - 24 = 8x \Leftrightarrow x = \frac{{ - 24}}{8} \Leftrightarrow x = - 3$

Resposta: A constante de proporcionalidade é igual a -24.

8.) O Marcos comprou um móvel que custava R$ 400 mais frete (23%). Quanto pagou o Marcos pelo móvel?

$\frac{{100}}{{400}} = \frac{{23}}{x} \Leftrightarrow x = \frac{{400 \times 23}}{{100}} \Leftrightarrow x = 92$

Resposta: O móvel custou 400 + 92 = 492 reais.

9.) No teste de matemática do 9ºA, em 25 alunos houve 20% de negativas. Quantas classificações positivas houveram?

$\frac{{100}}{{25}} = \frac{{20}}{x} \Leftrightarrow x = \frac{{20 \times 25}}{{100}} \Leftrightarrow x = 5$

Resposta: Houveram 5 negativas e 25-5=20 positivas.

10.) Averigue se as grandezas x e y são diretamente proporcionais. Em caso afirmativo indique a constante de proporcionalidade.

10.1.

10.2.

10.3.

Resolução:

10.1.) Como $\frac{2}{6} = \frac{4}{{12}} = \frac{6}{{18}} = \frac{8}{{24}} = \frac{1}{3}$ , as grandezas x e y são diretamente proporcionais e a

constante de proporcionalidade é igual a $\frac{1}{3}$ .

10.2.) Como $\frac{{10}}{2} = \frac{{20}}{4} = \frac{{30}}{6} = \frac{{40}}{8} = 5$ , as grandezas x e y são diretamente proporcionais e a constante de proporcionalidade é igual a 5.

10.3.) Como $\frac{{50}}{{400}} \ne \frac{{150}}{{1600}}$ , as grandezas x e y não são diretamente proporcionais.

Pesquisado em: http://www.atividadesdematematica.com/proporcionalidade-direta-e-inversa-9ano em 19/07/2014 as 9h00.

segunda-feira, 21 de julho de 2014

Proporção - Suas propriedades - Exercícios resolvidos

Proporção

Propriedade 3: Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo. Então temos:

QUARTA PROPORCIONAL
DADOS TRÊS NÚMEROS A, B, E C, CHAMAMOS DE QUARTA PROPORCIONAL O QUARTO NÚMERO X QUE JUNTO A ELES FORMAM A PROPORÇÃO:

Tendo o valor dos números a, b, e c, podemos obter o valor da quarta proporcional, o número x, recorrendo à propriedade fundamental das proporções. O mesmo procedimento utilizado na resolução de problemas de regra de três simples.

TERCEIRA PROPORCIONAL

EM UMA PROPORÇÃO ONDE OS MEIOS SÃO IGUAIS, UM DOS EXTREMOS É A TERCEIRA PROPORCIONAL DO OUTRO EXTREMO:

Na proporção acima a é a terceira proporcional de c e vice-versa.

Exercícios resolvidos

sábado, 19 de julho de 2014

Proporcionalidade Direta e Inversa - Exercícios resolvidos

Exercícios resolvidos-Proporcionalidade Direta e Inversa

$\frac{{100}}{{95}} = \frac{x}{{19}} \Leftrightarrow x = \frac{{100 \times 19}}{{95}} \Leftrightarrow x = \frac{{1900}}{{95}} \Leftrightarrow x = 20$

$\frac{{100}}{{900}} = \frac{{10}}{x} \Leftrightarrow x = \frac{{900 \times 10}}{{100}} \Leftrightarrow x = \frac{{9000}}{{100}} \Leftrightarrow x = 90$

28 – 20 = 8

Resolução:

Resolução:

$\frac{{100}}{{400}} = \frac{{23}}{x} \Leftrightarrow x = \frac{{400 \times 23}}{{100}} \Leftrightarrow x = 92$

$\frac{{100}}{{25}} = \frac{{20}}{x} \Leftrightarrow x = \frac{{20 \times 25}}{{100}} \Leftrightarrow x = 5$

Resolução:

segunda-feira, 21 de julho de 2014

Proporção - Suas propriedades - Exercícios resolvidos

Proporção

Propriedade 3: Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo. Então temos:

QUARTA PROPORCIONALDADOS TRÊS NÚMEROS A, B, E C, CHAMAMOS DE QUARTA PROPORCIONAL O QUARTO NÚMERO X QUE JUNTO A ELES FORMAM A PROPORÇÃO:

Tendo o valor dos números a, b, e c, podemos obter o valor da quarta proporcional, o número x, recorrendo à propriedade fundamental das proporções. O mesmo procedimento utilizado na resolução de problemas de regra de três simples.

TERCEIRA PROPORCIONAL

EM UMA PROPORÇÃO ONDE OS MEIOS SÃO IGUAIS, UM DOS EXTREMOS É A TERCEIRA PROPORCIONAL DO OUTRO EXTREMO:

Na proporção acima a é a terceira proporcional de c e vice-versa. Exercícios resolvidos

sábado, 19 de julho de 2014

Proporcionalidade Direta e Inversa - Exercícios resolvidos

Exercícios resolvidos-Proporcionalidade Direta e Inversa

28 – 20 = 8

Resolução:

Resolução:

Resolução:

QUARTA PROPORCIONAL
DADOS TRÊS NÚMEROS A, B, E C, CHAMAMOS DE QUARTA PROPORCIONAL O QUARTO NÚMERO X QUE JUNTO A ELES FORMAM A PROPORÇÃO:

Na proporção acima a é a terceira proporcional de c e vice-versa.

Exercícios resolvidos