Proporcionalidade em geometria
Proporção é a igualdade entre duas razões equivalentes. De forma semelhante aos que já estudamos com números racionais, é possível estabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta, através das medidas desse segmentos.
Vamos considerar primeiramente um caso particular com quatro segmentos de reta:
AB/CD = 2/3 e PQ/RS = 4/6
AB/BC = CD/DE
A proporcionalidade acima é garantida pelo fato que existe uma proporção entre os números reais que representam as medidas dos segmentos:
m(AB) · m(DE) = m(BC) · m(CD)
Feixe de retas paralelas: Um conjunto de três ou mais retas paralelas num plano é chamado feixe de retas paralelas. A reta que intercepta as retas do feixe é chamada de reta transversal. As retas A, B, C e D que aparecem no desenho anexado, formam um feixe de retas paralelas enquanto que as retas S e T são retas transversais.
Identificamos na sequência algumas proporções:
AB/BC = DE/EF
BC/AB = EF/DE
Vamos considerar primeiramente um caso particular com quatro segmentos de reta:
- m(AB) =2cm A______B
- m(PQ) =4cm P____________Q
- m(CD) =3cm C_________D
- m(RS) =6cm R__________________S
AB/CD = 2/3 e PQ/RS = 4/6
e como 2/3 = 4/6, segue a existência de uma proporção entre esses quatro segmentos de reta. Isto nos conduz à definição de segmentos proporcionais.
Diremos que quatro segmentos de reta, AB, BC, CD e DE, nesta ordem, são proporcionais se:
AB/BC = CD/DE
Os segmentos AB e DE são os segmentos extremos e os segmentos BC e CD são os segmentos meios.
A proporcionalidade acima é garantida pelo fato que existe uma proporção entre os números reais que representam as medidas dos segmentos:
m(AB) m(CD)
---------- = ------------
m(BC) m(DE)
Propriedade Fundamental das proporções: Numa proporção de segmentos, o produto das medidas dos segmentos meios é igual ao produto das medidas dos segmentos extremos.
m(AB) · m(DE) = m(BC) · m(CD)
Feixe de retas paralelas: Um conjunto de três ou mais retas paralelas num plano é chamado feixe de retas paralelas. A reta que intercepta as retas do feixe é chamada de reta transversal. As retas A, B, C e D que aparecem no desenho anexado, formam um feixe de retas paralelas enquanto que as retas S e T são retas transversais.
S/ \ T
---------/----\------- A
--------/------\------ B
-------/--------\------C
------/----------\-----D
--------/------\------ B
-------/--------\------C
------/----------\-----D
Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. A figura ao lado representa uma situação onde aparece um feixe de três retas paralelas cortado por duas retas transversais.
---------/---------\--------
--------/A-------D\-------
-------/-------------\-------
------/B-----------E\------
-----/-----------------\-----
----/C---------------F\----
Identificamos na sequência algumas proporções:
AB/BC = DE/EF
BC/AB = EF/DE
AB/DE = BC/EF
DE/AB = EF/BC
Exemplo 1: Consideremos a figura ao lado com um feixe de retas paralelas, sendo as medidas dos segmentos indicadas em centímetros.
---------/---------\--------
3------/A-------D\------4
-------/-------------\-------
6----/B-----------E\-----8
-----/-----------------\-----
----/C---------------F\-----
Assim:
BC/AB = EF/DE
AB/DE = BC/EF
DE/AB = EF/BC
Observamos que uma proporção pode ser formulada de várias maneiras. Se um dos segmentos do feixe de paralelas for desconhecido, a sua dimensão pode ser determinada com o uso de razões proporcionais.
Pesquisado em: http://tudonossonamatematica.blogspot.com.br/2009/08/proporcionalidade-em-geometria.html em 15/07/2014 as 10h00.
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