Ângulos e retas concorrentes

Ângulos e retas concorrentes

 Observe a figura abaixo:

Na figura temos um ângulo de 30º e um ângulo β ao lado. Repare que o ângulo de 30º junto com o β formam meia volta (180º) logo β é o que falta ao 30º para completar 180º, ou seja, β = 150º.
Algebricamente temos:     

                                                30º + β = 180º

                                                β = 180º – 30º

                                                β = 150º

                                 
Agora repare que o ângulo 150º (β) está ao lado também do θ. E que 150º e θ também formam meia volta (!) (180º) logo θ é o que falta ao 150º para completar 180º, ou seja, θ = 30º.
Algebricamente temos:

                                                 150º + θ = 180º

              θ = 180º – 150º
              θ = 30º

Reparamos que θ = 30º acabou igual ao ângulo “oposto” a ele. Se o ângulo inicial medir algum outro valor (Ex. 50º) podemos usar o mesmo processo e descobrir que o ângulo “oposto” de novo mede a mesma coisa,

Como podemos mostrar que os ângulos "opostos" são sempre iguais? Como nessa situação não sabemos quanto medem os ângulos vamos chamá-los com letras gregas..

Uma idéia é usar os mesmos raciocínios que usamos no caso particular.:

Repare que os ângulos α e β juntos completam meia volta assim como β e θ, podemos pensar que α é o que falta ao β para completar 180º assim como θ é o que falta ao β para completar 180º logo α é igual ao θ. Colocando isso algebricamente temos:

α + β = 180º então α = 180º – β

β + θ = 180º então θ = 180º – β

e concluindo:

α = θ = 180º – β
 

Teorema dos ângulos opostos

Quando duas retas se cortam os ângulos “opostos pelo vértice” são iguais. 

Nessa situação os ângulos além de estarem de "lados opostos" tem que ter como "lados" a continuação dos lados do ângulo "oposto". Numa situação onde várias retas se encontram (ou passam por) necessário prestar atenção para não se equivocar.(aqui poderia-se colocar o ângulo oposto no "ângulo errado" (ao lado por exemplo) ou colocar sem que os lados sejam de fato continuação do outro.

Pesquisado em: http://matematica-para-todos.wikispaces.com/Explorando+-+%C3%82ngulos+retas+concorrentes em 05/07/2014 as 12h20.