Fatoração:1º caso/Fator comum e 2º caso/Agrupamento

1o. caso: Para fatorar expressões algébricas é necessário observar atentamente qual caso de fatoração pode ser aplicado.
São sete os casos diferentes utilizados na fatoração de expressões algébricas. O primeiro caso é a fatoração por meio do termo em comum ou colocação de termos em evidência.
Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse primeiro caso de fatoração, todos os monômios da expressão algébrica devem ter pelo menos algum termo em comum.
A fatoração é feita colocando o termo comum em evidência, veja alguns exemplos:

?a – ab é uma expressão algébrica, veja como devemos fatorá-la:

É preciso analisar se o 1º caso poderá ser utilizado para a fatoração, então é necessário analisar todos os seus monômios (termos) para ver se há termos em comum.

a – ab essa expressão tem dois monômios a e ab
Os dois possuem termos semelhantes: o termo semelhante é a. Então, colocamos esse termo comum em evidência.
Quando colocamos a em evidência devemos dividir a e ab (os monômios) por a (termo comum), assim:

a : a = 1, pois todo número (ou letra) dividido por ele mesmo é igual a 1.

ab : a = b, pois a : a = 1, então ficaria 1b que é o mesmo que b.

Portanto, a – ab = a (1 – b)
                                ↓
                          Termos
                       em evidência

?a³ – 4a² é uma expressão algébrica, veja como fatorá-la:

Essa expressão algébrica tem 2 monômios a³ e 4a². Eles têm o a como termo semelhante, então podemos colocá-lo em evidência, mas poderá surgir uma dúvida: devemos colocar o a³ ou a²? Devemos colocar sempre o de menor expoente, então colocamos a².

Devemos dividir a³ e 4a² por a², assim:

a³ : a² = a, pois a³ = a .a .a, então a . a . a : a² é o mesmo que 1a = a.

4a² : a² = 4, pois a² : a² = 1, então ficaria 4 . 1 que é mesmo que 4.

Portanto, a³ – 4a² = a² (a – 4). 
                                    ↓ 
                         Termos 
                      em evidência

?x⁴ - 2x³ + x² + x é uma expressão algébrica que tem quatro monômios. Eles têm termos em comum. Como esses termos têm mesma base, devemos pegar o de menor expoente, então o termo em comum é x.
O termo em evidência deverá ser dividido pelos monômios x⁴ , 2x² , x² e x, assim:

x⁴ : x = x³, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.

2x³ : x = 2x², pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.

x² : x = x, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.

x : x = 1, pois qualquer número ou letra dividido por ele mesmo é igual a 1.

Portanto, x⁴ - 2x³ + x² + x = x (x³ – 2x² + x + 1).
                                               ↓
                                       Termos
                                   em evidência 

? 4r + 12 é uma expressão algébrica, olhando rapidamente podemos pensar que não existe termo semelhante, o que seria errado, pois o número 12 pode ser fatorado em dois fatores 12 = 4 . 3. Com essa fatoração percebemos que há um termo em comum na expressão algébrica, esse é o 4.
Então, pegamos os monômios 4r e 12 e dividimos por 4, ficando assim:

4r : 4 = 1r ou r

12 : 4 = 3

Portanto, 4r + 12 = 4 (r + 3) 
                                  ↓
                            Termos
                        em evidência 

? Para fatorarmos a expressão algébrica (x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) devemos ter um pouco mais de cuidado, pois em primeiro lugar separamos os termos:

(x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) a expressão possui dois termos.
          ↓                      ↓
   1º termo             2º termo

O termo semelhante é (x + 1), pois é encontrado tanto no 1º termo, como no 2º.
Então, devemos dividir o 1º termo e o 2º por (x + 1), ficando assim:

[(x + 1) (x – 3)] : (x + 1) = (x – 3)

2 (x + 1) : (x + 1) = 2

Portanto, (x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x – 3 + 2)
(x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x – 1)
                                                  ↓
                                           Termos
                                       em evidência

Para conferir se as fatorações estão corretas, basta efetuar as fatorações, veja:
Para verificar se a fatoração 4r + 12 = 4 (r + 3) está correta, basta pegar a expressão algébrica fatorada 4 (r + 3) e resolvê-la:
Aplicando a propriedade distributiva temos: 4 (r + 3) = 4 . r + 4 . 3 = 4r + 12. Podemos concluir que a fatoração está correta.

2o. Caso: Agrupamento é o segundo caso de fatoração, para utilizá-lo devemos ter conhecimento do primeiro caso, pois para fatorar uma expressão algébrica utilizando o agrupamento é preciso agrupar os termos semelhantes e colocá-los em evidência. 
Quando aplicamos o caso de fatoração por agrupamento, utilizamos a fatoração por termos comuns. Veja: 
Se observarmos a expressão ab + 3b + 7a + 21veremos que não são todos os monômios que têm termos semelhantes, mas podemos unir os que possuem termos semelhantes. 
Assim, temos: ab + 3b + 7a + 21, agora aplicamos o 1º caso de fatoração (termo comum), colocando em evidência cada elemento comum de cada agrupamento. 

ab + 3b + 7a + 21 
        ↓             ↓ 
b termo       7 é o termo comum 
comum 

Então: b (a + 3) + 7 (a + 3) 

Mesmo fazendo essa fatoração observamos que ainda podemos fazer mais uma fatoração, pois os dois termos b (a + 3) e 7 (a + 3) possuem um termo em comum 
(a + 3). Então, aplicamos o processo do fator comum, ficando assim a fatoração: 

b (a + 3) + 7 (a + 3) 
(a + 3) (b + 7) 

Portanto, a expressão algébrica ab + 3b + 7a + 21 fatorada fica assim: (a + 3) (b + 7).

Contido em: http://www.mundoeducacao.com/matematica/1-caso-fatoracao-fator-comum.htm e http://www.mundoeducacao.com/matematica/2-caso-fatoracao-agrupamento.htm; pesquisado em 14/12/2014 as 11h00.