Produtos notáveis

Utilizados para simplificar as contas do produto algébrico, os produtos notáveis apresentam cinco casos distintos.

Antes de entendermos o que são produtos notáveis, devemos saber o que são expressões algébricas, isto é, equações que possuem letras e números. Veja alguns exemplos:

2x + 3 = 4
-y + 2x + 1 = 0
z² + ax + 2y = 3

Os produtos notáveis possuem fórmulas gerais, que, por sua vez, são a simplificação de produtos algébricos. Veja:

(x + 2) . (x + 2) =
(y – 3) . (y – 3) =
(z + 4 ). ( z – 4) =

Cinco casos de Produtos Notáveis

Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois termos.

quadrado = expoente 2;

Soma de dois termos = a + b;

Logo, o quadrado da soma de dois termos é: (a + b)²

Efetuando o produto do quadrado da soma, obtemos:

(a + b)² = (a + b) . (a + b) =

= a² + a . b + a . b + b² =

= a² + 2 . a . b + b²

Toda essa expressão, ao ser reduzida, forma o produto notável, que é dado por:

(a + b)² = a² + 2 . a . b + b²

Sendo assim, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(2 + a)² =
= 2² + 2 . 2 . a + a² =
= 4 + 4 . a + a²

(3x + y)² =
= (3 x)² + 2 . 3x . y + y² =
= 9x² +6 . x . y + y²

Segundo Caso: Quadrado da diferença de dois termos.

Quadrado = expoente 2;

Diferença de dois termos = a – b;

Logo, o quadrado da diferença de dois termos é: (a - b)².

Vamos efetuar os produtos por meio da propriedade distributiva:

(a - b)² = (a – b) . (a – b)
= a² – a . b – a . b + b² =
= a² – 2 .a . b + b²

Reduzindo essa expressão, obtemos o produto notável:

(a - b)² = a² – 2 .a . b + b²

Temos, então, que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(a – 5c)² =
= a² – 2 . a . 5c + (5c)² =
= a^{2 –} 10 . a . c + 25c²

(p – 2s) =
= p² – 2 . p . 2s + (2s)^{2 =}
= p² – 4 . p . s + 4s²

Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença de dois termos.

Produto = operação de multiplicação;

Soma de dois termos = a + b;

Diferença de dois termos = a – b;

O produto da soma pela diferença de dois termos é: (a + b) . (a – b)

Resolvendo o produto de (a + b) . (a – b), obtemos:

(a + b) . (a – b) =
= a² - ab + ab - b² =
= a² + 0 + b² = a² - b²

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a + b) . (a – b) = a² - b²

Podemos concluir, portanto, que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(2 – c) . (2 + c) =
= 2² – c² =
= 4 – c²

(3x² – 1) . (3x² + 1) =
= (3x²)² – 1² =
= 9x⁴ - 1

Quarto caso: Cubo da soma de dois termos

·         Cubo = expoente 3;

·         Soma de dois termos = a + b;

·         Logo, o cubo da soma de dois termos é: (a + b)³

Efetuando o produto por meio da propriedade distributiva, obtemos:

(a + b)³ = (a + b) . (a + b) . (a + b) =
= (a² + a . b + a . b + b²) . (a + b) =
= ( a² + 2 . a . b + b² ) . ( a + b ) =
= a³ +2. a² . b + a . b² + a² . b + 2 . a . b² + b³ =
= a³ +3 . a² . b + 3. a . b² + b³

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a + b)³ = a³ + 3 . a² . b + 3 . a . b² + b³

O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo.

Exemplos

(3c + 2a)³ =
= (3c)³ + 3 . (3c)² .2a + 3 . 3c . (2a)² + (2a)³ =
= 27c³ + 54 . c² . a + 36 . c . a² + 8a³

Quinto caso: Cubo da diferença de dois termos

·         Cubo = expoente 3;

·         Diferença de dois termos = a – b;

·         Logo, o cubo da diferença de dois termos é: ( a - b )³.

Efetuando os produtos, obtemos:

(a - b)³ = (a - b) . (a - b) . (a - b) =
= (a² - a . b - a . b + b²) . (a - b) =
= (a² - 2 . a . b + b²) . (a - b) =
= a³ - 2. a² . b - a . b² - a² . b + 2 . a . b² - b³ =
a³ - 3 . a² . b + 3. a . b² - b³

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a - b)³ = a³ - 3 . a² . b + 3 . a . b² - b³

O cubo da diferença de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.

Exemplo:

(x - 2y)³ =
= x³ - 3 . x² . 2y + 3 . x . (2y)² – (2y)³ =
x³ - 6 . x² . y + 12 . x . y² – 8y³