CÁLCULO DO MMC E DO MDC

Dizemos que 30 é múltiplo de 5, pois 5 * 6 = 30. Existe um número natural que multiplicado por 5 resulta em 30. Veja mais alguns números e seus múltiplos:

M(3) = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...
M(4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ...
M(10) = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, ...
M(8) = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ...
M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, ...
M(11) = 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, ...

Os múltiplos de um número formam um conjunto infinito de elementos.

Divisores

Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. Observe alguns números e seus divisores:

D(10) = 1, 2, 5, 10.
D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20.
D(25) = 1, 5, 25.
D(100) = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.
 

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

O mínimo múltiplo comum entre dois números é representado pelo menor valor comum pertencente aos múltiplos dos números. Observe o MMC entre os números 20 e 30:

M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, ....
M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, ...

O MMC entre 20 e 30 é equivalente a 60.

Outra forma de determinar o MMC entre 20 e 30 é através da fatoração, em que devemos escolher os fatores comuns e não comuns de maior expoente. Observe:

20 = 2 * 2 * 5 = 2² * 5

30 = 2 * 3 * 5 = 2 * 3 * 5

MMC (20; 30) = 2² * 3 * 5 = 60

A terceira opção consiste em realizar a decomposição simultânea dos números, multiplicando os fatores obtidos. Observe:

 Máximo Divisor Comum (MDC)

O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum pertencente aos divisores dos números. Observe o MDC entre os números 20 e 30:

D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20.
D(30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

O maior divisor comum dos números 20 e 30 é 10.

Podemos também determinar o MDC entre dois números através da fatoração, em que escolheremos os fatores comuns de menor expoente. Observe o MDC de 20 e 30 utilizando esse método.

20 = 2 * 2 * 5 = 2² * 5

30 = 2 * 3 * 5 = 2 * 3 * 5

MDC (20; 30) = 2 * 5 = 10

Exemplo: Vamos determinar o MMC e o MDC entre os números 80 e 120.

MMC

80 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 = 2⁴ * 5
120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 = 2³ * 3 * 5

MMC (80; 120) = 2⁴ * 3 * 5 = 240

MDC (80; 120) = 2³ * 5 = 40

Exercícios: 1) Calcule o MMC e o MDC dos números abaixo:

a) 18 e 60

b) 210 e 462

Resposta Questão 1: a) Primeiramente, vamos calcular o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre 18 e 60 pela decomposição simultânea dos dois números. Sempre dividindo os números pelo menor número primo possível:

18, 60 | 2
  9, 30 | 2
  9, 15 | 3
   3, 5 | 3
   1, 5 | 5
1, 1 |

Vamos multiplicar todos os números que ficaram à direita: 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180. Portanto, MMC (18, 60) = 180.

18, 60 | 2
  9, 30 | 2
  9, 15 | 3
   3, 5 | 3
   1, 5 | 5
 1, 1 |

Mas desses números à direita, os únicos que dividem o 18 e o 60, simultaneamente, são os números destacados: 2 e 3. Multiplicando-os, encontramos o resultado 6. Logo, o MDC (18, 60) = 6.

b) Vamos calcular o MMC (210, 462) através da decomposição simultânea dos dois números:

210, 462 | 2
105, 231 | 3
   35, 77 | 5
     7, 77 | 7
       1, 11 | 11
    1, 1 |

Basta multiplicar todos os números que ficaram à direita: 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2.310. Portanto, MMC (210, 462) = 2.310.

210, 462 | 2
105, 231 | 3
   35, 77 | 5
     7, 77 | 7
       1, 11 | 11
    ​1, 1 |

Para encontrarmos o MDC, procuramos à direita os números que dividiram o 210 e o 462 simultaneamente, 2, 3 e 7. Multiplicando-os, encontramos o resultado 42. O MDC (210, 462) = 42. 

2.) No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” com frequências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante, as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a “piscar simultaneamente”?

a) 12

b) 10

c) 20

d) 15

e) 30

Resposta Questão 2: Como o exercício nos questiona “após quantos segundos elas voltarão a 'piscar simultaneamente'”, precisamos converter as informações dadas para medidas de “segundos”. Portanto, se a primeira torre “pisca” 15 vezes por minuto, sabendo que um minuto equivale a 60 segundos, podemos fazer 60 : 15 = 4, pois as luzes da primeira piscam de 4 em 4 segundos. Equivalentemente, os cálculos para a segunda torre são 60 : 10 = 6, o que nos indica que as luzes da segunda torre piscam de 6 em 6 segundos.

4, 6 | 2
2, 3 | 2
 1, 3| 3
​                 1, 1 | 3 * 2* 2 = 12

Multiplicando os números que dividem o 4 e o 6, temos 2 x 1 x 3 = 12. Portanto, MMC (4,6) = 12. Logo, as torres piscaram juntas a cada 12 segundos. 

3.) Nas últimas eleições, três partidos políticos tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s de tempo gratuito de propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. A soma do número das aparições diárias dos partidos na TV foi de: 

Resposta Questão 3: Para resolver essa questão, precisamos recorrer à ideia do Máximo Divisor Comum, pois queremos que o tempo de cada aparição seja o maior possível.

Façamos então a fatoração simultânea dos tempos de aparição de cada político:

90, 108, 144 | 2
   45, 54, 72 | 2
   45, 27, 36 | 2
   45, 27, 18 | 2
    45, 27, 9 | 3
      15, 9, 3 | 3
       5, 3, 1 | 3
       5, 1, 1 | 5
    1, 1, 1 |

Já que estamos procurando o MDC, vamos procurar aqueles números que dividiram os três números ao mesmo tempo. Fazendo a multiplicação deles, temos: 2 x 3 x 3 = 18.

Encontramos o tempo de aparição de cada político, 18 segundos. Precisamos agora descobrir quantas aparições cada um deles realizou. Vejamos:

90: 18 = 5 aparições

108/18 = 6 aparições

144 : 18 = 8 aparições

Somando as aparições de cada um, encontramos 5 + 6 + 8 = 19 aparições.

4.) José possui um supermercado e pretende organizar de 100 a 150 detergentes, de três marcas distintas, na prateleira de produtos de limpeza, agrupando-os de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, mas sempre restando um. Quantos detergentes José tem em seu supermercado? 

Resposta Questão 4: Se José arruma os detergentes em grupos de múltiplos de 12, 15 ou 20, e sobra 1, vamos então encontrar o mínimo múltiplo comum entre esses números e adicionaremos 1 ao resultado. Vejamos:

                                            2, 15, 20  | 2
                                     6 , 15 , 10 | 2
                                      3 , 15 , 5  | 3

                                        1 , 5 , 5  | 5
                                        1 , 1 , 1 |

Temos que multiplicar os números que apareceram à direita: 2 x 2 x 3 x 5 = 60. Todos os múltiplos de 60 serão também múltiplos comuns a 12, 15 e 20. Vejamos os múltiplos de 60:

M(60) = {0, 60, 120, 180, 240, ...}

Você pode observar que o único dos múltiplos de 60 que se encaixa na quantidade de detergentes do supermercado de José é o 120. Mas falta ainda acrescentarmos aquele detergente que sempre restava, portanto, podemos concluir que no supermercado de José havia 121 detergentes.