Teorema de Tales - Proposta de Aula: Proporção aplicada à Geometria

Teorema de Tales: proporção aplicada à Geometria

Segmentos, paralelas, transversais e proporção. Relacione esses elementos e oriente o uso do teorema que ajuda no cálculo de medidas

Três paralelas cortadas por duas transversais, formando quatro segmentos. Essa imagem, como a do desenho à esquerda, é a representação mais clássica do teorema de Tales. Os exercícios escolares normalmente apresentam essa figura e dão valores a três dos quatro segmentos. O desafio do aluno é descobrir o segmento cuja medida é proporcional ao outro e encontrar o número desconhecido fazendo uso da regra de três. Se o professor não colocar novos problemas para serem resolvidos nas aulas, o ensino do teorema parece finalizado. Mas é possível ir além - afinal de contas, há aplicações muito mais amplas e instigantes (leia diversos problemas e possíveis equívocos na próxima página). Em linhas gerais, o teorema de Tales é a proporcionalidade aplicada à geometria. "Por isso, é essencial diagnosticar se os alunos entendem a ideia de proporcionalidade ou precisam consolidar conceitos geométricos", diz o professor Luiz Marcio Imenes, mestre em Educação Matemática e autor de livros didáticos. Como visto na primeira reportagem desta série, na edição de agosto de 2010, a proporcionalidade ocorre quando existe a mesma variação (chamada de razão) de valores em duas grandezas. Por exemplo: se a medida de um lado da figura dobra, o outro também deve dobrar. Quando um deles triplica, ocorre a mesma mudança com o outro. Uma forma de retomar o assunto é propor problemas em que exista ou não a proporcionalidade, ou casos em que as variações não são aleatórias. Também é fundamental garantir que os alunos entendam os termos geométricos usados em Tales (paralelas, transversais e segmentos). 

Passada essa etapa, introduza o teorema de Tales com a análise do desenho de um triângulo que tenha lados de medidas diferentes cortado na metade de sua altura por uma linha paralela à base. É possível ver que o lado que mede, digamos, 12 centímetros, ficará com duas partes de 6 centímetros e o lado de 18 centímetros vai ter outros dois segmentos com 9 centímetros. Em seguida, uma sugestão é mostrar o mesmo triângulo com uma paralela que cruze o desenho formando segmentos de 10 e 2 centímetros em um dos lados e 15 e 3 centímetros no outro. Diante desse contexto, a turma precisa descobrir qual a relação entre os segmentos e os lados. A chave será encontrar a razão de proporcionalidade entre os segmentos de um mesmo lado, o que é calculado dividindo 10 por 2 ou 15 por 3 (razão 5). Aí, então, discuta com os alunos uma regra básica do teorema de Tales: existe a proporção entre segmentos de transversais que são delimitadas por paralelas. 

De olho na proporção das figuras geométricas, os adolescentes podem encontrar diversas medidas (leia a sequência abaixo). Ao pedir que o aluno trace uma transversal de 4 centímetros e a divida em 3 e 1 centímetros por uma paralela, ele pode concluir que a outra transversal terá um segmento com tamanho três vezes maior que a outra. Esse e outros raciocínios são válidos - o importante é intermediar as discussões e tomar os erros e acertos como um material de debate com a turma.

Sequência Didática: Teorema de Tales em várias situações

Objetivo
- Usar o teorema de Tales na resolução de problemas. 

Conteúdos
- Geometria. 

- Proporcionalidade. 

Anos
8° e 9° anos do ensino fundamental.

Tempo estimado

10 a 14 aulas.

Material necessário 

Folhas pautadas, régua e calculadora.

Flexibilização
Para que alunos com deficiência visual possam acompanhar estas atividades é fundamental que você antecipe as etapas da sequência para o educador responsável pela sala de recursos. Assim, o aluno cego poderá desenvolver todo o material de apoio em relevo, sob orientação do educador e com mais tempo, para que chegue à classe bem preparado. Feito isso, o trabalho em sala pode ser realizado em duplas. Dessa forma, o aluno com deficiência visual conta com a ajuda de um colega para acompanhar as explicações do professor com relação às retas paralelas e transversais, podendo, inclusive - e com a ajuda de uma máquina braile e de esquadros - fazer seus próprios registros e propor novos exercícios. Com apoio do Atendimento Educacional Especializado proponha exercícios individuais para que o aluno resolva individualmente no contraturno. A avaliação pode ser feita na forma escrita, em Braile e transcrita com a ajuda do educador responsável.

Desenvolvimento
1ª etapa

Para discutir a proporcionalidade no teorema de Tales com os alunos, distribua folhas pautadas e peça que, aproveitando as linhas, tracem três retas paralelas e duas transversais interceptando-as (faça alguns modelos no quadro para que eles possam segui-los como base). Indique que marquem os pontos de intersecção formados, meçam os segmentos e dividam o valor de um pelo outro em cada transversal. Os quocientes das duas retas vão coincidir. Diga que aumentem o espaço entre as paralelas e refaçam os cálculos. Debata esses resultados: diga que o quociente é a razão da proporcionalidade (constante que permite saber a variação dos valores de duas grandezas) e peça que comparem os resultados entre si. Os quocientes das transversais desenhadas por cada aluno terão os mesmos valores. Apresente o conceito do teorema de Tales (que sempre existe a proporção entre segmentos de transversais delimitadas por paralelas).

2ª etapa

Entregue aos alunos um desenho que contenha retas paralelas (nomeie com r, s, t), transversais (u, v) e quatro segmentos formados por elas (apenas três deles devem ter valores conhecidos). Peça que calculem a resposta. Repita com outros valores.

3ª etapa

Apresente outro exemplo, em que as transversais se cruzem sobre a paralela do meio. Debata com a turma: quais segmentos são proporcionais? Solicite que justifiquem as respostas. Diga que acompanhem o percurso da transversal, notando que têm segmentos proporcionais mesmo quando estão em lados opostos.

4ª etapa

Proponha exercícios que tenham maior grau de dificuldade, incluindo conteúdos estudados anteriormente. Os valores dos segmentos podem ser substituídos por equações e frações. Alterne exercícios que precisem de estratégias variadas. Problemas que envolvam terrenos paralelos delimitados por ruas não paralelas ou mapas de quarteirões e transversais são exemplos.

5ª etapa

Finalize questionando as condições de aplicação do teorema. Peça que cada um construa um feixe de três retas não paralelas e duas transversais. Oriente que meçam os quatro segmentos formados, dividam um segmento pelo outro de cada transversal e anotem o resultado. Como os quocientes (que são as razões) serão diferentes, eles não formam uma proporção, o que impossibilita o uso do teorema.

Avaliação
Durante as aulas, note se os alunos acompanharam a escalada da dificuldade das propostas, se contribuíram nas discussões e se conseguiram resolver os problemas. Finalize o estudo do conteúdo com uma prova escrita para verificar se ainda restam dúvidas e quais são elas. Se necessário, retome os conceitos.

Pesquisado no site: 

http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/teorema-tales-proporcao-aplicada-geometria-594437.shtml

http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/teorema-tales-varias-situacoes-594399.shtml

em 07/06/2014 as 11h57min.