Sequência de FIBONACCI

A sequência de Fibonacci é uma sequência numérica construída através de um procedimento recursivo simples:

• Os dois primeiros termos são iguais a 1.
• Cada novo termo é obtido como a soma dos dois termos precedentes.

Seguindo essas regras, a sequência começa com 1, 1 e para achar o terceiro termo devemos somar estes dois uns:

1, 1, 2.

Para achar o quarto termo, vamos somar os dois termos que o antecedem, isto é, 1 + 2:

1, 1, 2, 3.

Repetindo este procedimento encontramos, pouco a pouco, os termos da sequência:

1, 1, 2, 3, 5.
1, 1, 2, 3, 5, 8.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13

Assim por diante. Aqui estão os primeiros 20 termos da sequência de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765.

O PROBLEMA DOS COELHOS

Fibonacci propôs sua famosa sequência através de um problema curioso que enunciamos a seguir:

Certo homem pôs um casal de coelhos em um lugar totalmente cercado. Quantos casais de coelhos podem ser gerados por esse casal em um ano se supusermos que a cada mês cada casal gera um novo casal, o qual começa a se reproduzir a partir do segundo mês de vida?

Para resolver esse problema podemos montar a seguinte tabela:

Mês	CASAIS MADUROS	CASAIS NOVOS
1	1	0

Veja que no primeiro mês temos apenas um casal maduro. No segundo mês temos, além deste casal, um novo casal, descendente do primeiro par:

Mês	CASAIS MADUROS	CASAIS NOVOS
1	1	0
2	1	1

No terceiro mês esses dois casais já estão na fase reprodutiva e há ainda um novo casal, nascido do primeiro par:

Mês	CASAIS MADUROS	CASAIS NOVOS
1	1	0
2	1	1
3	2	1

Observe que para seguir preenchendo a tabela devemos, para cada mês, fazer o seguinte:

Calculamos o número de casais maduros somando os casais que já eram maduros antes com aqueles que eram casais novos no mês anterior; O número de novos casais a cada mês é exatamente igual ao número de casais maduros no mês anterior.

A tabela completa para um ano fica assim:

Mês	CASAIS MADUROS	CASAIS NOVOS
1	1	0
2	1	1
3	2	1
4	3	2
5	5	3
6	8	5
7	13	8
8	21	13
9	34	21
10	55	34
11	89	55
12	144	89

Logo, em um ano haverá 233 casais de coelhos, sendo que 144 já estarão maduros e 89 serão casais novos. A resposta para a pergunta de Fibonacci é que o primeiro casal dará origem a outros 232 casais. 
Se você observar as colunas do meio e da direita da tabela que montamos, encontrará nelas a sequência de Fibonacci.

Pesquisado em: http://www.uff.br/sintoniamatematica/matematicaenatureza/matematicaenatureza-html/audio-flores-br.html, em 16/08/2014 as 11h00.