Proporcionalidade na Geometria

• Proporcionalidade na Geometria

Introdução

• O que é semelhança em geometria

Na Matemática é a Geometria que trata da semelhança de figuras de mesmo formato (forma).Uma ampliação, uma redução e até uma congruência de figuras são exemplos claros de semelhança.
Para que duas ou mais figuras (ou objetos) sejam semelhantes, duas condições são necessárias:

1. Os ângulos correspondentes devem ser iguais.
   
2. Os comprimentos correspondentes devem ser proporcionais.

Veja a figura:

• Note que os dois compassos tem exatamente a mesma forma e tamanhos diferentes.
  
• Note que nos dois triângulos os ângulos correspondentes são iguais e que a razão entre os lados (comprimentos) é 2. Temos:EF=8 e BC=4 logo; EF/BC = 8/4 = 2.DE=12 e AB=6 logo; DE/AB = 12/6 = 2.DF=5 e AC=2,5 logo; DF/AC = 5/2,5 = 2.

Entre as FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS que são semelhantes, temos:

• Todos os círculos;
  
• Todos os quadrados.

Entre as FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS que nem sempre são semelhantes, temos:

• Os retângulos;
  
• Os triângulos.

Entre os SÓLIDOS GEOMÉTRICOS que são semelhantes, temos:

• Todas as esferas;
  
• Todos os cubos.

Entre os SÓLIDOS GEOMÉTRICOS que nem sempre são semelhantes, temos:

• Os cones;
  
• Os paralelepípedos.

Triângulos Congruentes
Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos. Casos de congruência:
1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.

2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.

3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.

4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.

Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração. Dizemos que em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.
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Dois triângulos (ou de forma geral, duas figuras planas) são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, ou seja, o mesmo tamanho.
Já a semelhança entre triângulos, objeto do artigo, aborda o conceito mais amplo onde se tem triângulos com a mesma forma, mas não necessariamente com o mesmo tamanho. Em outras palavras, congruência é um caso particular de semelhança entre triângulos no sentido de que se dois triângulos são congruentes necessariamente eles são semelhantes.

Exercícios: (Congruência)

1- De acordo com a indicação feita na figura, responda:

- Qual e o caso de congruência que permite afirmar que x = y ?

Resposta: Lado-Lado-Lado.

2 – Os triângulos ABR e MNP são congruentes. Pelas indicações, determine o caso de congruência das medidas x e y.

Resposta: Lado-Ângulo-Lado

Semelhança de Triângulos

• Critério AA => Ângulo-Ângulo: Se dois triângulos têm dois ângulos internos correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes.
  
• Demonstração:

No caso dos dois triângulos serem congruentes, nada há a demonstrar, pois por definição de congruência os triângulos são necessariamente semelhantes. Suponhamos, então, como indicado na figura, o triângulo ABC maior que o triângulo DEF e construamos o triângulo AGH tal que a medida do lado AG seja igual à medida do lado DE, o ângulo G congruente ao ângulo E e H sobre o lado AC.

• Critério AAA => Ângulo-Ângulo-Ângulo: Se os ângulos de um triângulo forem respectivamente congruentes aos ângulos correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.
  
• Critério LAL => Lado-Ângulo-Lado: Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são proporcionais aos lados do outro triângulo e os ângulos determinados por estes lados são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
  
• Critério LLL => Lado-Lado-Lado: Se as medidas dos lados de um triângulo são respectivamente proporcionais às medidas dos lados correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.

Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem seus três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais.

Traduzindo a definição em símbolos:

Observe que as três primeiras expressões entre os parêntesis indicam a congruência ordenada dos ângulos e a última a proporcionalidade dos lados homólogos.
Em bom português, podemos, ainda, definir a semelhança entre triângulos através da frase: dois triângulos são semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro.

Exercícios:
1 - Numa fazenda em que o galpão para a criação de galinhas, está dividido para separar as matrizes, filhotes, reprodutores etc, têm os tamanhos mostrados na figura abaixo, qual o comprimento aproximado da região vermelha destinada as matrizes?


Resolução:



X = 70
2 – Um zootecnista divide um canteiro triangular, destinado a cultura de flores tropicais, obtendo os valores a seguir. Qual a extensão do trecho marcado com x ?


Ao verificar que um lado é maior e que há a proporção de 3 para 1, conclui-se que a resposta é 9.

3 - Um Zootecnista elaborou um projeto para acompanhar o crescimento de equinos, utilizando gramínea como base alimentar. Em uma das visitas para fazer a medição dos animais observou-se, em um deles, os seguintes resultados:

• No membro toráxico, do caso a região do joelho obteve-se 25 cm.
  
• No membro pélvico, do casco aos ossos do tarso obteve-se 20 cm.
  
• E dos ossos do tarso às ultimas vértebras sacrais obteve-se 80 cm
  

(observe os pontos na figura)

Quando chegou em casa e alisou os resultados, lembrou que não havia feito a medição do joelho a cartilagem escapular desse animal. Lembrando que é feito todo esse mesmo processo a cada 2 meses e que consequentemente irá haver alteração no tamanho do animal caso deixe para medir na próxima visita. E agora, qual solução?

Obs.: Não há mínima possibilidade de ele voltar e fazer o que esqueceu, nem ao menos mandar alguém medir, pois caso aconteça algum erro os resultados não serão favoráveis na conclusão do projeto.



Traçando retas paralelas e transversais.


Resolução:

25    20
__ = __

X      80

=> 20x = 2000 =>  X = 1 metro


Conclusão
No trabalho apresentado, teve-se a oportunidade de interpretar alguns aspectos históricos que cercam o desenvolvimento da geometria. Tivemos a oportunidade de investigar o desenvolvimento do pensamento geométrico em diferentes contextos profissionais existentes, de modo a relacionar as práticas investigadas com a geometria aprendida.

Referências Bibliográficas:
=>LOUREIRO, Cristina et al.Geometria. Lisboa: Ministério da Educação, 1998
=>http://pt.scribd.com/doc/18059421/geometria-proporcional-nm1
=>http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/teorema-tales-proporcao-aplicada-geometria-594437.shtml
=>http://www.brasilescola.com/matematica/teorema-tales.htm