Proporcionalidade inversa

Grandezas inversamente proporcionais

Diz-se que duas grandezas relacionadas são inversamente proporcionais se, quando o valor de uma dela é multiplicado por um número, então o valor da outra fica dividido por esse mesmo número.

Quando duas grandezas relacionadas x  e y são inversamente proporcionais, o produto x.y , entre o valor e  e o valor correspondente de , é constante.

Problemas envolvendo grandezas inversamente proporcionais

Vamos agora resolver alguns problemas que envolvem grandezas inversamente proporcionais. Novamente, lembre-se de tentar resolver sozinho cada problema, antes de ler a resolução apresentada.

Problema 1: Se 3 torneiras de mesma vazão conseguem encher um reservatório em 2 horas, em quanto tempo esse reservatório ficará cheio caso apenas duas torneiras sejam abertas?
Primeira solução: Observe que se a quantidade de torneiras abertas dobrar, o tempo necessário para o reservatório encher irá cair para a metade. Do mesmo modo, se a quantidade de torneiras abertas for multiplicada por três, o tempo necessário para o reservatório encher será dividido por três. De modo geral, se a quantidade de torneiras for multiplicada por um número, o tempo necessário para elas encherem o reservatório será dividido por esse número. Isso implica que as grandezas relacionadas "quantidade de torneiras" e "tempo necessário para o reservatório encher" são inversamente proporcionais. Assim, o produto de valores correspondentes dessas grandezas é constante. Podemos utilizar isso para resolver o problema observando que:

• com 3 torneiras abertas o reservatório fica cheio em 2 horas e,
• com 2 torneiras abertas o reservatório fica cheio em  horas, onde queremos calcular o valor de .

Logo , ou seja, . Portanto, quando apenas duas torneiras estão abertas o reservatório fica cheio em três horas.

Segunda solução (redução a unidade): Na solução anterior observamos que se multiplicarmos a quantidade de torneiras por um número, o tempo necessário para elas encherem o reservatório será dividido por esse número. Isso implica, como 3 torneiras enchem o reservatório em 2 horas, que  torneira irá encher o reservatório em  horas. Mais ainda,  torneiras irão encher o reservatório em  horas. Portanto, duas torneiras enchem o reservatório em 3 horas.

Observe que o raciocino desenvolvido acima pode ser representado esquematicamente do seguinte modo:

Problema 2: Se uma torneira despeja 6 litros de água por minuto em um reservatório, serão necessário 35 minutos para ele ficar completamente cheio. Caso essa torneira despeje 10 litros de água no reservatório por minuto, em quanto tempo ele fica completamente cheio?
Primeira solução: Observe que se vazão de água da torneira dobrar, o tempo necessário para ela encher o reservatório será dividido por dois. Do mesmo modo, se essa vazão for multiplicada por três, o tempo necessário para o reservatório encher será dividido por três. Ou seja, se multiplicarmos a vazão da torneira por um número, o tempo necessário para ela encher o reservatório será dividido por esse número. Isto significa que as grandezas "vazão da torneira" e "tempo necessário para ela encher o reservatório" são inversamente proporcionais, como já havíamos observado no exemplo 7. Portanto, o produto de valores correspondentes destas duas grandezas é uma constante. Como

• se a torneira despeja 6 litros de água por minuto o reservatório fica cheio em 35 minutos e,
• queremos calcular o tempo necessário para essa torneira encher o reservatório, caso sua vazão seja igual a 10 litros por minuto,

podemos então escrever a equação . Isso implica que . Portanto, quando a torneira despeja 10 litros de água no reservatório, ela gasta 21 minutos para enchê-lo.
Segunda solução (redução a unidade): Como as grandezas "vazão" e "tempo" são inversamente proporcionais, ao multiplicarmos o valor de uma dessas grandezas por um número, a outra grandeza fica multiplicada por esse mesmo número. Assim, podemos utilizar esse fato para resolver o problema de acordo com o esquema a seguir.

Portanto, quando a torneira despeja 10 litros de água no reservatório, ela gasta 21 minutos para enchê-lo.
Terceira solução: Após observar que as grandezas "vazão da torneira" e "tempo necessário para ela encher o reservatório" são inversamente proporcionais, podemos resolver esse problema através do método prático da regra de três inversa. Para isso, construímos um esquema, como o exemplificado a seguir, mostrando valores correspondentes dessas duas grandezas.
Vazão tempo
6 litros por minuto 35 minutos
10 litros por minuto minutos

Mas, neste caso, como as grandezas são inversamente proporcionais, em vez de multiplicar em cruz, multiplicamos os números que aparecem na mesma linha e igualamos os resultados obtidos. Nesse caso, obtemos a equação , cuja solução é .

Problema 3: Viajando a 60 quilômetros por hora, um carro gasta 3 horas para sair de uma cidade A e chegar em uma cidade B. Caso esse carro viaje a 80 quilômetros por hora, quanto tempo ele levará para fazer essa mesma viagem?
Primeira solução: Observe que se a velocidade do carro dobrar, então o tempo necessário para ele fazer essa viagem será dividido por dois. Ou ainda, se a velocidade do carro triplicar, então o tempo necessário para ele fazer a viagem será dividido por três. Em geral, se a velocidade for multiplicada por um número, então o tempo necessário para o carro fazer essa viagem será dividido por esse número. Isso implica que as grandezas relacionadas "velocidade do carro" e "tempo necessário para ele fazer a viagem entre as duas cidades" são inversamente proporcionais. Logo, o produto dos valores correspondentes dessas grandezas é constante. Sabemos que a 60 quilômetros por hora, o carro gasta 3 horas para fazer a viagem. E se a 80 quilômetros por hora ele gasta  horas, então podemos escrever a equação . Isso implica que . Portanto, a 80 quilômetros por hora o carro gasta 2,25 horas para sair da cidade A e chegar na cidade B.
Observe que 2,25 horas é o mesmo que 2 horas e 15 minutos.
Segunda solução (redução a unidade): Como as grandezas "velocidade" e "tempo" são inversamente proporcionais, ao multiplicarmos o valor de uma dessas grandezas por um número, a outra grandeza fica multiplicada por esse mesmo número. Assim, podemos utilizar esse fato para resolver o problema de acordo com o esquema a seguir.

Portanto, a 80 quilômetros por hora o carro gasta 2,25 horas para sair da cidade A e chegar na cidade B.

Terceira solução: Como as grandezas envolvidas neste problema são inversamente proporcionais, podemos resolver o problema através da regra de três inversa. Para isso, costuma-se apresentar os dados do problema em um esquema como o exemplificado a seguir.

60 km/h 3 horas

80 km/h horas

Multiplicando os números que aparecem em uma mesma linha da tabela acima, obtemos a equação , ou seja, .

Problema 4: Viajando a 80 quilômetros por hora, um carro gasta 3 horas para sair de uma cidade A e chegar em uma cidade B. Com que velocidade constante ele deve trafegar para fazer essa mesma viagem em apenas duas horas e meia?
Primeira solução: Como observado no exemplo anterior, no caso de descolamentos com velocidade constante, as grandezas relacionadas "velocidade do carro" e "tempo necessário para ele fazer a viagem entre as duas cidades" são inversamente proporcionais. Logo, o produto dos valores correspondentes dessas grandezas é constante. Sabemos que a 80 quilômetros por hora, o carro gasta 3 horas para fazer a viagem. E se a  quilômetros por hora ele gasta 2,5 horas, então podemos escrever a equação . Isso implica que . Portanto, para fazer a viagem entre a cidade A e a cidade B em 2,5 horas o carro deve trafegar a 96 quilômetros por hora.

Segunda solução (redução a unidade): Como as grandezas "velocidade" e "tempo" são inversamente proporcionais, ao multiplicarmos o valor de uma dessas grandezas por um número, a outra grandeza fica multiplicada por esse mesmo número. Assim, podemos utilizar esse fato para resolver o problema de acordo com o esquema a seguir.

Portanto, para fazer a viagem entre a cidade A e a cidade B em 2,5 horas o carro deve trafegar a 96 quilômetros por hora.
Terceira solução: Como as grandezas envolvidas nesse problema são inversamente proporcionais, podemos resolver o problema através da regra de três inversa. Para isso, costuma-se apresentar os dados do problema em um esquema como o exemplificado a seguir.

80 km/h 3 horas

 km/h 2,5 horas

Multiplicando os números que aparecem em uma mesma linha da tabela acima, obtemos a equação , ou seja, .

Pesquisado em: http://crv.educacao.mg.gov.br/sistema_crv/index.aspx?ID_OBJETO=104108&tipo=ob&cp=B53C97&cb=&n1=&n2=M%EF%BF%BDdulos%20Did%EF%BF%BDticos&n3=Ensino%20Fundamental&n4=Matem%EF%BF%BDtica&b=s. Em 15/06/2013 - 21h00.