Cinco problemas curiosos da Matemática

1. Real sumido (problema mais misterioso que curioso): José, Paulo e Pedro pagaram a conta de um bar, que deu 30 reais. Cada um entrou com 10 reais. Depois, o garçom devolveu cinco reais, dizendo que a conta tinha sido 25 reais, tendo havido engano.

          è Nesse caso, dois reais ficam como gorjeta do garçom e cada um de nós recebe um real de troco – sugere José.

           Tudo aceito. Depois de deixarem o bar, já na rua, Pedro ficou a questionar:

           è  A conta parece certa, mas tem uma coisa que está me grilando.  Vejam: no começo a conta foi 30 reais. Cada um deu 10 reais (10x3=30). Depois, cada um recebeu um real de troco: a despesa ficou em 27 reais (9x3=27). Mais dois do garçom, 29 reais. Falta um real. Cadê?

            èDe fato, 30 reais no começo. Com o troco que cada um recebeu, ficou por 27 reais. Mais dois da gorjeta do garçom,29. Falta um real – concordam seus companheiros. Cadê o real?  

Resposta: Você mesmo concluiu: cada um pagou 9 reais e levou 1 real de troco para casa. 
Os 27 reais que eles deixaram no bar correspondem à conta de 25 reais, MAIS a gorjeta de 2 reais ao garçom.

Portanto, não faz sentido somar de novo a gorjeta aos 27 reais.

O que faz sentido aqui é somar 27 reais deixados no bar + 3 reais de troco, que totaliza 30 reais...

Na matemática existe um princípio básico:

Não se pode somar ao TOTAL, uma parte do TOTAL.

No problema em questão o TOTAL é o valor gasto pelos três: R$27,00

Destes 27 fazem parte: 25 (restaurante) e 2 (garçom)

Logo fica CLARO que 2 é uma parte do TOTAL.

Logo, é PROIBIDO somar 2 (parte do TOTAL) com 27 (TOTAL)

Assim, no enunciado, o que está errado é apenas a última linha.

2. Três pedidos: Se o senhor dobrar a quantia que tenho no bolso, lhe darei 20 reais – disse Joca a seu pai. Satisfeito o pedido e cumprida a promessa, dirige-se a sua mãe, com o mesmo pedido com a mesma condição. Atendido, deu o prometido. Por fim, fez igual pedido a seu avô. Também atendido, deu 20 reais e ficou liso, zerado. Quanto Joca possuía antes de fazer o primeiro pedido?

Resposta:

Solução na álgebra:

         Com facilidade, o problema pode gerar equação semelhante a esta: 8x – 140 = 0, donde: x = 140 / 8 ou,  x = 17,50. 

Solução na aritmética: 

         Método das operações inversas. Parte-se do fim para o início: Antes de dar 20 ao avô, Joca tinha 0 + 20 = 20. Mas o avô dobrou. Logo, ele tinha antes 20/2 = 10, quantia com que veio de sua mãe. Antes de dar 20 a esta, tinha, pois, 10 + 20 = 30. Ela também dobrou. Logo, antes ele possuía 30/2 = 15, importância com que veio do pai. Se             deu  20 a este, antes tinha 15 + 20 = 35. Mas antes o pai dobrou. Logo, Joca tinha 35/2 = 17,50 (mesma resposta), antes do primeiro pedido.   

3. Três jogadores:  Três jogadores acertaram: quem perder dobra a quantia que cada um tiver no momento. Jogaram três partidas, cada um perdeu uma partida, cada um ficou no final com 80 reais. Quanto cada jogador possuía antes de começar o jogo?

Resposta:

Solução na álgebra:

         A solução pode conduzir a um sistema de equações com três incógnitas, semelhante a este: 

4x - 4y - 4z =	80
6y - 2x - 2z =	80
7z - x - y   =	80

        Resolvido o sistema, têm-se: x = 130, y = 70 e z = 40. 

Solução na aritmética:

       Método das operações inversas. Veja o esquema abaixo. Siga o raciocínio. Faça as operações contrárias. Três jogadores: A, B e C. Primeira partida perdeu A. Segunda perdeu B. Terceira perdeu C. Do fim para o início, perderam C, B e A. Tem-se:

Operações inversas (do fim para o início)
jogador A	jogador B	jogador C
80	80	80
80/2 = 40	80/2 = 40	80 +80 = 160
40/2 = 20	40 + 100 = 140	160/2 = 80
20 +110 = 130	140/2 = 70	80/2 = 40
130	70	40

Resposta: os jogadores A, B e C possuíam, antes de começar o jogo, 130. 70 e 40 reais, respectivamente (mesmas respostas). 

Verificação (prova)
jogador A	jogador B	jogador C
130	70	40
130 - 110 = 20	70 x 2 = 140	40 x 2 = 80
20 x 2 = 40	140 - 100 = 40	80 x 2 = 160
40 x 2 = 80	40 x 2 = 80	160 - 80 = 80
80	80	80

4. Juros simples: Que montante o capital de R$5.650,00, a 12% ao ano, produz em 4 anos e 6 meses?    

Resposta:

Solução usual:

        Mediante aplicação da fórmula de montante, tem-se: M = 5.650+ (5.650x`12x54)/1.200 = 8.701

Solução por falsa-posição:

Método baseado em suposições. Consta de velhos manuais de Aritmética. Resolve questões que guardam proporcionalidade. 

Capital falso – 100 (pode ser outro número);

Juros falsos - 4 x 12 + 6 + = 54; montante falso - 154

Arma-se a proporção: capital falso está para capital verdadeiro assim como montante falso está montante verdadeiro. Tem-se: 100/5.650 = 154/x, donde:

 x = (154x5.650)/100 =  8.701 (a mesma resposta, sem uso de fórmula).

5. Juros compostos:  Achar os juros compostos de R$4.200,00, a 10% ao ano, em 5 anos, capitalizados anualmente.  

Resposta:

Solução usual:

Tem-se: Montante = 4.200 x (1 + 0,10)⁵ = 6.764,14;

juros compostos = 6.764,14 – 4.200 = 2.564,14.

Solução por falsa-posição:

100 (capital falso). Montante falso: 100 x 1,10⁵ = 161,051; juros falsos = 161,051 – 100 = 61,051. Arma-se a proporção: capital falso está para capital verdadeiro assim como juros falsos estão para juros verdadeiros.  Tem-se: 100/4.200 = 61,051/x, donde x = (4.200 x 61,051)/100 = 2.564,14 (a mesma resposta, sem uso de fórmula).