Logaritmos naturais

O logaritmo natural é o logaritmo de base e, onde e é um número irracional aproximadamente igual a 2,718281828459045... chamado de número de Euler. É, portanto, a função inversa da função exponencial.
Quando nos deparamos com logaritmos  em grande parte estudamos os logaritmos decimais que são logaritmos cuja base é  representada pelo número 10 - que normalmente oculta-se o mesmo em sua representação. Os logaritmos Naturais são logaritmos representados pela base “e” que é  um número irracional denominado de constante ou número de Euler equivalente a (e=2,71828..). Matematicamente representamos o logaritmo natural por;

Ln(x) = log_ex

Portanto, algumas consequências de sua definição podem ser representadas:

• Ln 1 = 0
• Ln e =  1
• Ln (eⁿ) = n

Também podemos listar aqui suas propriedades operacionais importantes.
1. Logaritmo natural de um produto

• ln (x · y) = ln x + ln y

2. Logaritmo natural de um quociente

• ln (x/y) = ln x - ln y

3. Logaritmo natural de uma potência

• ln (xⁿ) = n . ln x

Muitos exercícios referentes a logaritmos naturais podem ser resolvidas a partir de técnicas utilizadas para facilitar a resolução dos mesmos. Vejamos;
Iremos transformar a base “e” para a base decimal (10)
Demonstração
Ln x = log_ex
Fazendo a mudança de base para a base decimal
Log_ex= Log₁₀x / log₁₀e
Resolvendo
Log_ex =Log₁₀x /0,434
“Desmembrando”
Log_ex= 1 /0,434 . Log₁₀x
Log_ex = 2,31 Log₁₀x ( Obs: Valor aproximado, uma vez que o valor de” log₁₀e”foi truncado)
Agora vejamos algumas aplicações em exercícios sobre o conceitos descritos acima.
Exemplo 1) Se Log 8=0,90, determine o valor de Ln(8).
Resolução
Ln8= Log_e8 = 2,31 log₁₀8 = 2,31 x 0,90= 2,1.
Exemplo 2) Se Ln 3=1,1 e Ln 6=1,8. Determinar o valor de Ln 18.
Resolução
Aplicando a regra do produto
Ln 18= Ln(3 . 6)= Ln 3+ Ln6 = 2,9
Nota: Não devemos confundir os termos referentes a logaritmo natural e logaritmo neperiano, muita das vezes ambos são tratados como sinônimos, mas na verdade o logaritmo neperiano refere-se a  um logaritmo na qual sua base é denotada por “a”, onde se segue;
10⁷ . log _a (x/10⁷)
a= (1-10^-7)^{10^7} = lim_n->∞(1-1/n)ⁿ= 1/e
10⁷ .log_1/e (x/10⁷)
Logo, percebe-se que o logaritmo neperiano refere-se a base ”1/e”.

Contido em: http://www.infoescola.com/matematica/logaritmo-natural/, pesquisado em 16/10/2014 as 15h00.