Logaritmos - Exercícios resolvidos

1.) Em uma calculadora científica de 12 dígitos quando se aperta a tecla log, aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava no visor. Se a operação não for possível, aparece no visor a palavra ERRO. Depois de digitar 42 bilhões, o número de vezes que se deve apertar a tecla log para que, no visor, apareça ERRO pela primeira vez é:

            a) 2        b) 3         c) 4           d) 5              e) 6

Resposta Questão 1:

Já sabemos que o logaritmo decimal de um número positivo N é indicado por log N, que representa o logaritmo de N na base 10.
Já sabemos que se log N > 0 então N > 1 e que se log N < 0 então 0 < N < 1.
Se necessário, revise logaritmos.
Seja A_i o número que aparece no visor da calculadora no i-ésimo toque na tecla LOG, ou seja, no toque de ordem i da tecla LOG. Por exemplo, no primeiro toque, A₁, no segundo toque, A₂, no terceiro toque, A₃ e assim sucessivamente.
Vamos considerar que o número introduzido na calculadora para o cálculo do log seja
A₀ = 48 bilhões = 48 000 000 000 = 4,8.10¹⁰.
Teremos então:
                              A₀ = 48 000 000 000 = 4,8.10¹⁰

A₁ = log A₀ = log (4,8.10¹⁰) = log 4,8 + log 10¹⁰ = 10 + log 4,8

Então:   A₂ = log A₁ = log 10 + log 4,8

Ora, como 10° < 4,8 < 10¹, podemos concluir que log 4,8 será uma número entre 0 e 1 e, portanto, da forma 0,m (um número decimal entre 0 e 1).

Então, A₁ = 10 + log 4,8 = 10 + 0,m = 10,m , que é um número entre 10 = 10¹ e 100 = 10².

Nestas condições, teremos: A₂ = log A₁ = log (10,m)
Como 10¹ < 10,m < 10² , podemos concluir que l < log(10,m) < 2, ou seja, log (10,m) será um número entre 1 e 2 e portanto da forma 1,n (um número decimal entre 1 e 2), ou seja log A₂ = 1,n.

Portanto: A₃ = log A₂ = log (1,n)

Como 1,n é um número decimal entre 1 = 10⁰ e 10 = 10¹, podemos afirmar que log (1,n) será um número decimal entre 0 e 1, ou seja, da forma 0,p .

Portanto, A₃ = 0,p   e  A₄ = log A₃ = log (0,p)

Como 0,p é um número decimal entre 0 e 1 ou seja 0 < 0,p < 1, já sabemos que o resultado será um número negativo pois o logaritmo decimal de N, para N entre 0 e 1 é negativo. Portanto, A₄ é menor do que zero, ou seja, um número negativo.
Logo, A₅ = log A₄ e como A₄ é negativo (menor do que zero) e já sabemos que não existe logaritmo decimal de número negativo, a calculadora vai apresentar mensagem de ERRO. Portanto, na quinta vez - o que corresponde a A₅ - ao teclar LOG vai dar ERRO no visor da calculadora, o que nos leva tranquilamente à alternativa D.

2.) Considerando-se que x = 2¹⁰⁰⁰ e sabendo que log2 é aproximadamente igual a 0,30103, determine o número de algarismos de x.

Resposta Questão 2: Logx = Log21000 → 1000 * Log2 → 1000 * 0,30101 → 301
 

3.) Um líquido volátil diminui seu volume na ordem de 20% por hora. O seu volume se reduzirá à metade durante um tempo t. Considerando essas condições, determine aproximadamente o tempo t. (Dado log2 = 0,3)

Resposta Questão 3: Volume inicial: Vo

O tempo t será de aproximadamente 3 horas.

4.) Determine o número real x que satisfaz a equação log2(12 – 2x) = 2x.

Resposta Questão 4:

Condição 12 – 2x > 0
log2(12 – 2x) = 2x
12 – 2x = 22x
22x + 2x – 12 = 0
2x = y
y² + y – 12 = 0 (equação do 2º grau)
∆ = b² – 4ac
∆ = 1² – 4 * 1 * (-12)
∆ = 1 + 48
∆ = 49