Plutão - Um planeta?

Vista de Plutão feita pelo telescópio espacial Hubble: defensores clamam que "o tamanho não importa" 

Muitas pessoas não entendem por que Plutão deixou de ser um planeta. Plutão foi descoberto em 1930, mas deixou de ser um planeta em 2006, quando foi rebaixado a planeta-anão. Mas qual foi o motivo por trás dessa decisão?

Em 2005 descobrimos um objeto maior do que Plutão, Éris, dividindo um espaço com outros já conhecidos e Plutão, numa região além de Netuno. Esses astros têm características das órbitas ao redor do Sol muito parecidas, sendo bem mais elípticas (alongadas) do que os demais planetas e bastante inclinadas em relação aos demais. Assim, em 2006, os Astrônomos, em mais uma reunião da União Astronômica Internacional (IAU, em inglês), na cidade de Praga, na República Checa, decidiram definir melhor o que é um planeta. Até então era um objeto que girava ao redor de uma estrela, podia ter satélites e tinha massa suficiente para ser esférico.

Até aí Plutão, que foi descoberto em 1930, por um norte-americano – Clyde Tombaugh –, também era considerado um planeta. Mas as novas descobertas sugeriam que deveriam existir vários objetos semelhantes a Plutão além de Netuno. Para que não houvesse uma enxurrada de novos planetas eles preferiram, em uma votação, criar uma nova categoria de objetos do Sistema Solar: os planetas-anões. Além das características mencionadas acima, um planeta deve ter limpado a sua órbita, não dividindo-a com outros objetos além de seus satélites. Plutão, Éris, Makemake e Haumea, além do ex-asteroide Ceres, não estão sozinhos, dividindo a região com outros astros. Assim, eles são classificados como planetas-anões. O nome é um pouco infeliz porque dá a ideia de que é um planeta. Mas é uma nova categoria de objeto. O Sistema Solar é composto atualmente de oito planetas, dezenas de satélites, milhares de asteroides, cinco planetas-anões e milhões de cometas.

Mas, os defensores do "patinho feio" do Sistema Solar não se renderam e inclusive fizeram manifestações pedindo aos cientistas que voltassem a admitir a Plutão no clube dos grandes, clamando que "o tamanho não importa".

Por isso, oito anos depois e a menos de um ano para que aconteça, em Honolulu (Havaí, EUA), a Assembleia Geral da União Astronômica Internacional (IAU), o Centro Harvard-Smithsonian voltou a abrir o debate. Para isso, convidou três especialistas com opiniões diferentes.

O historiador cientista Owen Gingerich, que presidiu o comitê de definição de planetas da IAU, defendeu o status de Plutão como planeta de um ponto de vista histórico e argumentou que "um planeta é uma palavra culturalmente definida que muda com o tempo".

Como pôde a União Astronômica Internacional dizer que Plutão era um planeta anão e depois negar-lhe a posição de planeta? Que era, então, só um anão? Gingerich considera que a IAU fez um "abuso da linguagem" ao tentar definir a palavra planeta e que, por isso, não devia ter expulsado Plutão.

O ponto de vista contrário foi defendido pelo diretor associado do Centro de Planetas Menores, Gareth Williams, que apoiou a exclusão de Plutão e definiu os planetas como "corpos esféricos que orbitam ao redor do sol e que limparam seu caminho", ou seja, que tiraram sua órbita de outros astros.

Por sua vez, o diretor da Iniciativa Origens da Vida de Harvard, Dimitar Sasselov, argumentou que um planeta é "a massa menor esférica da matéria que se forma ao redor das estrelas ou restos estelares", o que, segundo sua opinião, devolve Plutão ao clube planetário.

No final das conferências, um público de todas as idades lembrou seus velhos livros e votou a favor do retorno do antigo nono planeta do Sistema Solar a essa condição.

Na realidade, desde seu descobrimento, em 1930, pelo americano Clyde Tombaugh, Plutão foi objeto de disputas, sobretudo devido a seu tamanho, muito menor que o da Terra, e inclusive que o da Lua. 

Equação do 2º Grau

Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja por exemplo:          2x + 1 = 0, 

o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º. grau.
Em,             2x² + 2x + 6 = 0, 

vemos que temos duas incógnitas x nessa equação, em que uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º. grau.

Na equação: x³ – x² + 2x – 4 = 0, 

temos três incógnitas x, em que o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.

Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau, utilizando o método de Bhaskara. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. Por exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0 são x = 4 ou x = 6, pois:

Substituindo x = 4 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 * 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
–24 + 24 = 0, logo: 0 = 0 (verdadeiro)

Substituindo x = 6 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 * 6 + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0 e vemos que: 0 = 0 (verdadeiro)

Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação. Mas como determinarmos os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? É sobre essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.

Exemplo 1: Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: 

                                                   x² – 2x – 3 = 0.

Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são:

 a = 1, b = –2 e c = –3.

Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja:

1º passo: determinar o valor do discriminante (ou delta): 

∆ = b² – 4 * a * c
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
∆ = 4 + 12
∆ = 16

2º passo

Os resultados são:  x’ = 3 e x” = –1.

Exemplo 2: Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.

Os coeficientes são:
 a = 1, b = 8 e c = 16

∆ = b² – 4 * a * c
∆ = 8² – 4 * 1 * 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0

No exemplo 2 devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.

Exemplo 3: Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.

  a = 10, b = 6 e c = 10

∆ = b² – 4 * a * c
∆ = 6² – 4 * 10 * 10
∆ = 36 – 400
∆ = –364

Nas resoluções em que o valor do discriminante é menor que zero, isto é, o número seja negativo, a equação não possui raízes reais.

Contido em: http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-2-grau.htm, pesquisado em 31/10/2014 as 15h00.

Fórmula de Bhaskara

A nome Fórmula de Bhaskara foi dada em homenagem ao matemático Bhaskara Akaria, considerado o mais importante matemático indiano do século XII.

A fórmula de Bhaskara é principalmente usada para resolver equações quadráticas de fórmula geral ax²+bx+c=0, com coeficientes reais, com a≠0 e é dada por:

chamamos de discriminante: Δ = b²-4ac
Dependendo do sinal de Δ, temos:

• Δ=0, então a equação tem duas raízes iguais.
• Δ>0, então a equação tem duas raízes diferentes.
• Δ<0, então a equação não tem raízes reais.

A ideia da demonstração da fórmula de Bhaskara é o completamento de quadrados. Seja:
ax²+bx+c=0
a²x²+abx+ac=0
4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx+b²+4ac=b²
(2ax)²+2(2ax)b+b²=b²-4ac
(2ax+b)²=b²-4ac

Através da Fórmula de Bhaskara podemos deduzir uma expressão para a soma (S) e o produto (P) das raízes da equação do 2º grau.
Sendo x₁ e x₂ raízes da equação ax²+bx+c=0, então:

S = x₁+x₂ = -b/a

P = x_1.x₂ = c/a
A importância da Fórmula  de Bhaskara é que ela nos permite resolver qualquer problema que envolva equações quadráticas, os quais aparecem em diversas situações importantes, como na Fisica por exemplo.

Contido em: http://www.infoescola.com/matematica/formula-de-bhaskara/, pesquisado em 29/10/2014 as 17h00.

Técnica de multiplicação Ellen. O ponto final na técnica de multiplicação

Muito interessante. Pode ajudar.

Veja o vídeo.

Matriz - Soma/Subtração/Multiplicação

Matriz e determinantes são conteúdos estudados dentro de matemática, mas abordados em vários outros ramos, como na informática, engenharia. O estudo dos determinantes depende do conhecimento prévio sobre matrizes.
De uma forma geral podemos dizer que matriz é um conjunto de elementos organizados em linhas e colunas. O número de linhas é representado por m e o número de colunas é representado por n, essas quantidades devem ser maiores ou iguais a um.
A quantidade de linhas de colunas e os elementos que pertencem à matriz são identificados através de uma fórmula.
Determinante é uma matriz quadrada representada de uma forma diferente, pois calculamos o seu valor numérico, o que não acontece com a matriz. Nela aplicamos as quatro operações, ou seja, somamos, multiplicamos, dividimos, subtraímos obtendo outra matriz.

Adição Para adicionarmos duas ou mais matrizes é preciso que todas elas tenham o mesmo número de linhas e de colunas. A soma dessas matrizes irá resultar em outra matriz que também terá o mesmo número de linhas e de colunas.
Os termos deverão ser somados com os seus termos correspondentes.
Concluímos que:

Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x n. Então, A + B = C, com
C de ordem m x n ↔ a₁₁ + b₁₁ = c₁₁.

Veja o exemplo abaixo:
Dado a matriz A = e matriz B = , se efetuarmos a soma dessas matrizes teremos:

Somaremos os termos correspondentes em cada matriz:



Com a soma das duas matrizes obtivemos outra matriz C = .

Subtração

Para efetuarmos a subtração de duas matrizes, as matrizes subtraídas devem ter a mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas) e a matriz obtida com a subtração (matriz diferença) também deve ter o mesmo número de linhas e colunas que as matrizes subtraídas.
Cada elemento de uma matriz deve ser subtraído com o elemento correspondente da outra matriz.
Concluímos que:

Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x n. Então A – B = C de
ordem m x n ↔ a₁₁ – b₁₁ = c₁₁

Veja o exemplo abaixo:
Dada a matriz A = e a matriz B = , se efetuamos a subtração dessas matrizes, temos:

Subtraindo os termos correspondentes das matrizes:



Com a subtração das duas matrizes obtivemos uma matriz C =  

Multiplicação de Matrizes 

A multiplicação de matrizes é um processo de cálculos simples, mas que exige alguns cuidados para ser executada com exatidão.

Quando trabalhamos com matrizes, podemos caracterizá-las em relação ao número de linhas e colunas, sendo que identificamos a linha por m e a coluna por n, representando-as, assim, da seguinte forma:

A_mxn

Lemos que a matriz A possui m linhas e n colunas. Se, por exemplo, temos uma matriz B com três linhas e quatro colunas, ela será representada como B_3x4.

Semelhantemente, cada elemento da coluna é caracterizado pela linha e coluna em que se encontra. A letra i representa sua linha e a j representa sua coluna, portanto, dizemos que o elemento a_ij está na linha i e na coluna j. Como exemplo, podemos citar o elemento a₃₅, que está localizado na linha 3 e na coluna 5. Vejamos uma representação dos elementos dispostos em uma matriz:

Quando multiplicamos uma matriz por outra, é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. O resultado dessa multiplicação será uma matriz com o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. Vejamos:

A _{m x n} . B _{n x p} = C _{m x p}

A multiplicação das matrizes A_{2 x 3 e} B_{4 x 3} é impossível, pois a primeira possui três colunas e a segunda possui quatro linhas. Como esses valores não são iguais, a multiplicação não ocorre. Agora se pretendemos multiplicar as matrizes A_{2 x 3 e} B_{3 x 4}, além da multiplicação ser totalmente possível, podemos ainda garantir que o produto dessas matrizes será uma matriz A_{2 x 4}.

Ao multiplicarmos uma matriz A por outra matriz B, temos que multiplicar todos os elementos da primeira linha da matriz A pelos elementos da primeira coluna da matriz B e somá-los. Veja como:

Sendo que a soma (2.5 + 3.6 + … + 8.1) corresponde ao elemento da primeira linha e da primeira coluna da matriz resultante. Repetimos esse processo com todas as linhas e todos as colunas, como podemos ver a seguir no algoritmo da multiplicação de matrizes:

Vamos verificar como ocorre a multiplicação da matriz A e B, sendo:

 e 

Temos, então:

Vamos agora verificar se a multiplicação é comutativa. Para isso, trocaremos a ordem das matrizes, multiplicando B e A:

Você observou que A . B é diferente de B . A? Quando trabalhamos com matrizes, a multiplicação não é comutativa.

Vale ressaltar que existe o elemento neutro na multiplicação de matrizes, é a matriz identidade. Esta sempre é quadrada e possui uma diagonal principal formada apenas por “1”, enquanto os demais elementos da matriz são preenchidos por zeros. Qualquer matriz que for multiplicada por uma matriz identidade nunca sofrerá alteração. Vejamos um exemplo:

 



Multiplicação de um número real por uma matriz

Com as matrizes podemos desenvolver várias operações, como: adição e subtração entre matrizes, Potência de matrizes, multiplicação entre matrizes e multiplicação de matriz com número real.

A multiplicação de uma matriz por um número real funciona da seguinte forma: considerando uma matriz qualquer C de ordem mxn e um número real qualquer p.
Quando multiplicamos o número real p pela matriz C encontraremos como produto outra matriz p.C de ordem mxn e seus elementos é o produto de p por cada elemento de C.
Veja o exemplo: Dada a matriz C = e o número real p = 3. O produto p . C será:

p . C =

p . C =

p . C =

Veja o exemplo que trabalha tanto com a multiplicação de número real por matriz como adição e subtração de matrizes.
Exemplo: Dada as matrizes A = , B = , C = calcule:

3A + 2B – 5C



Portanto, 3A + 2B – 5C = .

Contido em: http://www.mundoeducacao.com/matematica/matriz-determinantes.htm, pesquisado em 27/10/2014 as 11h00.

Logaritmos neperianos

O sistema de logaritmos neperianos possui como base o número irracional e (e = 2,718...). Esse sistema também é conhecido como sistema de logaritmos naturais, com a condição x > 0. Ele pode ser expresso por:
                                                                       log_ex = ln x

Transformando base e para a base decimal.

Considere o número real positivo x, para tal temos:

Através da relação demonstrada, podemos resolver os problemas propostos envolvendo a base decimal e a base e.

Exemplo 1
Sabendo que log 5 = 0,70, determine ln5.
Resolução:
ln x = 2,3 * log x → ln 5 = 2,3 * log 5 → ln 5 = 2,3 * 0,70 → ln 5 = 1,61

Exemplo 2
Sendo ln 0,02 = – 3,9, determine log 0,02.
Resolução: Se ln x = 2,3 * log x, então:


Exemplo 3
Dados log 2 = 0,30 e log e = 0,43, calcule o valor de x na equação ex – 8 = 0.
Resolução:

Exemplo 4
Calcular o valor de y na equação,

Resolução:


Exemplo 5
A corrente elétrica que atravessa um circuito é dada por i = 10 * e^–0,02*t, em que i0 é o valor da corrente no instante t = 0 e i é o valor da corrente decorridos t segundos. Determine em quantos segundos a corrente atinge 2% do seu valor inicial. (dado: ln 0,02 = – 4)
Resolução:
 

A corrente elétrica leva 200 segundos para atingir 2% do seu valor inicial.

Contido em: http://www.mundoeducacao.com/matematica/sistema-logaritmos-neperianos.htm, pesquisado em 16/10/2014 as 15h00.

Logaritmos naturais

O logaritmo natural é o logaritmo de base e, onde e é um número irracional aproximadamente igual a 2,718281828459045... chamado de número de Euler. É, portanto, a função inversa da função exponencial.
Quando nos deparamos com logaritmos  em grande parte estudamos os logaritmos decimais que são logaritmos cuja base é  representada pelo número 10 - que normalmente oculta-se o mesmo em sua representação. Os logaritmos Naturais são logaritmos representados pela base “e” que é  um número irracional denominado de constante ou número de Euler equivalente a (e=2,71828..). Matematicamente representamos o logaritmo natural por;

Ln(x) = log_ex

Portanto, algumas consequências de sua definição podem ser representadas:

• Ln 1 = 0
• Ln e =  1
• Ln (eⁿ) = n

Também podemos listar aqui suas propriedades operacionais importantes.
1. Logaritmo natural de um produto

• ln (x · y) = ln x + ln y

2. Logaritmo natural de um quociente

• ln (x/y) = ln x - ln y

3. Logaritmo natural de uma potência

• ln (xⁿ) = n . ln x

Muitos exercícios referentes a logaritmos naturais podem ser resolvidas a partir de técnicas utilizadas para facilitar a resolução dos mesmos. Vejamos;
Iremos transformar a base “e” para a base decimal (10)
Demonstração
Ln x = log_ex
Fazendo a mudança de base para a base decimal
Log_ex= Log₁₀x / log₁₀e
Resolvendo
Log_ex =Log₁₀x /0,434
“Desmembrando”
Log_ex= 1 /0,434 . Log₁₀x
Log_ex = 2,31 Log₁₀x ( Obs: Valor aproximado, uma vez que o valor de” log₁₀e”foi truncado)
Agora vejamos algumas aplicações em exercícios sobre o conceitos descritos acima.
Exemplo 1) Se Log 8=0,90, determine o valor de Ln(8).
Resolução
Ln8= Log_e8 = 2,31 log₁₀8 = 2,31 x 0,90= 2,1.
Exemplo 2) Se Ln 3=1,1 e Ln 6=1,8. Determinar o valor de Ln 18.
Resolução
Aplicando a regra do produto
Ln 18= Ln(3 . 6)= Ln 3+ Ln6 = 2,9
Nota: Não devemos confundir os termos referentes a logaritmo natural e logaritmo neperiano, muita das vezes ambos são tratados como sinônimos, mas na verdade o logaritmo neperiano refere-se a  um logaritmo na qual sua base é denotada por “a”, onde se segue;
10⁷ . log _a (x/10⁷)
a= (1-10^-7)^{10^7} = lim_n->∞(1-1/n)ⁿ= 1/e
10⁷ .log_1/e (x/10⁷)
Logo, percebe-se que o logaritmo neperiano refere-se a base ”1/e”.

Contido em: http://www.infoescola.com/matematica/logaritmo-natural/, pesquisado em 16/10/2014 as 15h00.

Logaritmos - Propriedades

Propriedades dos Logaritmos

1- Logaritmo do produto.

Se 0 < a ≠ 1, b > 0 e c > 0, então log_a^(b.c) = log_a b + log_a c.

2- Logaritmo do quociente.

Se 0 < a ≠ 1, b > 0 e c > 0, então log_a^b/c  = log_a b – log_a c.

3- Logaritmo da potência.

Se 0 < a ≠ 1, b > 0, então  log_a(bⁿ) = n . log_ab
Exemplo de aplicação: 
Se Log 9 = x, então Log 6 é:
Solução:
Sabendo que 9 = 3², então podemos reescrever Log 9 = Log 3² = 2.Log 3 = x, portanto,
Log 3 = x/2.
Por outra lado percebe que 6 = 2.3, então, temos:
Log 6 = Log (2.3) pela propriedade 3.1, podemos escrever:
Log (2.3) = Log 2 + Log 3
Log(2.3) = Log 2 + x/2.
Resposta: Log 6 = Log 2 + x/2

Mudança de Base

Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a mudança de uma base a para uma outra base b usamos:

Logaritmos - Exercícios resolvidos

1.) Em uma calculadora científica de 12 dígitos quando se aperta a tecla log, aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava no visor. Se a operação não for possível, aparece no visor a palavra ERRO. Depois de digitar 42 bilhões, o número de vezes que se deve apertar a tecla log para que, no visor, apareça ERRO pela primeira vez é:

            a) 2        b) 3         c) 4           d) 5              e) 6

Resposta Questão 1:

Já sabemos que o logaritmo decimal de um número positivo N é indicado por log N, que representa o logaritmo de N na base 10.
Já sabemos que se log N > 0 então N > 1 e que se log N < 0 então 0 < N < 1.
Se necessário, revise logaritmos.
Seja A_i o número que aparece no visor da calculadora no i-ésimo toque na tecla LOG, ou seja, no toque de ordem i da tecla LOG. Por exemplo, no primeiro toque, A₁, no segundo toque, A₂, no terceiro toque, A₃ e assim sucessivamente.
Vamos considerar que o número introduzido na calculadora para o cálculo do log seja
A₀ = 48 bilhões = 48 000 000 000 = 4,8.10¹⁰.
Teremos então:
                              A₀ = 48 000 000 000 = 4,8.10¹⁰

A₁ = log A₀ = log (4,8.10¹⁰) = log 4,8 + log 10¹⁰ = 10 + log 4,8

Então:   A₂ = log A₁ = log 10 + log 4,8

Ora, como 10° < 4,8 < 10¹, podemos concluir que log 4,8 será uma número entre 0 e 1 e, portanto, da forma 0,m (um número decimal entre 0 e 1).

Então, A₁ = 10 + log 4,8 = 10 + 0,m = 10,m , que é um número entre 10 = 10¹ e 100 = 10².

Nestas condições, teremos: A₂ = log A₁ = log (10,m)
Como 10¹ < 10,m < 10² , podemos concluir que l < log(10,m) < 2, ou seja, log (10,m) será um número entre 1 e 2 e portanto da forma 1,n (um número decimal entre 1 e 2), ou seja log A₂ = 1,n.

Portanto: A₃ = log A₂ = log (1,n)

Como 1,n é um número decimal entre 1 = 10⁰ e 10 = 10¹, podemos afirmar que log (1,n) será um número decimal entre 0 e 1, ou seja, da forma 0,p .

Portanto, A₃ = 0,p   e  A₄ = log A₃ = log (0,p)

Como 0,p é um número decimal entre 0 e 1 ou seja 0 < 0,p < 1, já sabemos que o resultado será um número negativo pois o logaritmo decimal de N, para N entre 0 e 1 é negativo. Portanto, A₄ é menor do que zero, ou seja, um número negativo.
Logo, A₅ = log A₄ e como A₄ é negativo (menor do que zero) e já sabemos que não existe logaritmo decimal de número negativo, a calculadora vai apresentar mensagem de ERRO. Portanto, na quinta vez - o que corresponde a A₅ - ao teclar LOG vai dar ERRO no visor da calculadora, o que nos leva tranquilamente à alternativa D.

2.) Considerando-se que x = 2¹⁰⁰⁰ e sabendo que log2 é aproximadamente igual a 0,30103, determine o número de algarismos de x.

Resposta Questão 2: Logx = Log21000 → 1000 * Log2 → 1000 * 0,30101 → 301
 

3.) Um líquido volátil diminui seu volume na ordem de 20% por hora. O seu volume se reduzirá à metade durante um tempo t. Considerando essas condições, determine aproximadamente o tempo t. (Dado log2 = 0,3)

Resposta Questão 3: Volume inicial: Vo

O tempo t será de aproximadamente 3 horas.

4.) Determine o número real x que satisfaz a equação log2(12 – 2x) = 2x.

Resposta Questão 4:

Condição 12 – 2x > 0
log2(12 – 2x) = 2x
12 – 2x = 22x
22x + 2x – 12 = 0
2x = y
y² + y – 12 = 0 (equação do 2º grau)
∆ = b² – 4ac
∆ = 1² – 4 * 1 * (-12)
∆ = 1 + 48
∆ = 49

Logaritmo

Considerando a e b  dois números reais e positivos, sempre com a diferente de 0 , define-se logaritmo de b(logaritmando) na base a, qual número deve-se incluir no expoente de a afim de termos b  como resultado.

Assim: a^x = b , então temos que 

Com as condições de .

I) , sendo que 3 é o logaritmo, 2 é a base e 8 é o logaritmando.
pois temos que 2³ = 8.

II) , sendo que –3 é o logaritmo, 3 é a base e 1/27 é o logaritmando.
pois temos que 3^-3 = 1/27 .

→ Antilogarítimo é definido como sendo: 
Exemplo:

I) 

Propriedades zero ( que são conseqüência direta da definição)

1º Propriedade (propriedade do produto).

2º Propriedade (propriedade do quociente).

3º Propriedade (propriedade da potência).

Conseqüência da 3º propriedade :

4º Propriedade (propriedade da mudança de base).

→ Colog, definição:

Contido em:http://www.infoescola.com/matematica/logaritmo/, pesquisado em 10/10/2014 as 13h00.