Geometria - Itens importantes

1) Ângulos em retas paralelas

2) Triângulos

• Classificação:
  Equilátero  3 lados iguais.
  Isósceles  2 lados iguais.
  Escaleno  3 lados desiguais.
   
• Ângulos:
  A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.
  A soma dos ângulos externos de um triângulo é igual a 360º.
   
• Segmentos e pontos notáveis:
  Mediana  liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.
  Baricentro  é determinado pelo encontro das medianas.
  Bissetriz interna liga um vértice ao lado oposto, dividindo os ângulos em dois iguais.
  Incentro  encontro das bissetrizes internas.
  Mediatriz  reta perpendicular a um lado em seu ponto médio.
  Circuncentro  encontro das mediatrizes.
  Altura  liga um vértice ao lado oposto - e é perpendicular a ele.
  Ortocentro  encontro das alturas.
   
• Casos de congruência de triângulos:
  LAL  lado, ângulo e lado.
  ALA  ângulo, lado e ângulo.
  LLL  lado, lado e lado.
  LAAO  lado, ângulo e ângulo oposto.
   
• Casos de semelhança de triângulos:
  AA  ângulo e ângulo.
  LAL  lado, ângulo e lado.
  LLL  lado, lado e lado.
  
  3) Polígonos
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  4) Triângulo retângulo
  
  
  5) Triângulo qualquer
  
  
  
  6) Circunferência
  
    comprimento de uma circunferência de raio R.
    área de um círculo.
  
  7) Áreas
  
    área do quadrado de lado a.
    área do retângulo de lados a e b.
    área do paralelogramo de base b e altura h.
    área do trapézio de base maior B, base menor b e altura h.
    área do losango de diagonais D e d.
    área do hexágono regular de lado .

Contido em: http://vestibular.uol.com.br/resumo-das-disciplinas/matematica/geometria.htm, pesquisado em 11/12/2014 as 14h00.

Números primos e compostos

Os números que possuem apenas dois divisores (ele próprio e 1) são chamados números primos.

Exemplos de números primos:

·         a) 2 é um número primo, pois D(2) = {1, 2} (lê-se: divisores de dois são o um e o 2)

·         b) 3 é um número primo, pois D(3) = {1, 3}

·         c) 5 é um número primo, pois D(5) = {1, 5}

·         d) 7 é um número primo, pois D(7) = {1, 7)

·         e) 11 é um número primo, pois D(11) = {1, 11}

O conjunto dos números primos é infinito.

P = {2, 3, 5, 7, 11,…}

Exemplos de números que não são primos:

·         a) 4 não é um número primo, pois D(4) = {1, 2, 4}

·         b) 6 não é um número primo, pois D(6) = {1, 2, 3, 6}

·         c) 8 não é um número primo, pois D(8) = {1, 2, 4, 8}

·         d) 9 não é um número primo, pois D(9) = {1, 3, 9}

·         e) 10 não é um número primo, pois D(10) = {1, 2, 5, 10}

Esses últimos exemplos são chamados de números compostos, pois possuem mais de dois divisores.

Por definição: 

·         O número 2 é o único número par que é primo.

·         O número 1 não é primo nem composto pois possui apenas 1 divisor.

O Crivo de Eratóstenes é um algoritmo e um método simples e prático para encontrar números primos até um certo valor limite. Segundo a tradição, foi criado pelo matemático grego Eratóstenes (c. 285-194 a.C.), o terceiro bibliotecário-chefe da biblioteca de Alexandria.

Para exemplificá-lo, vamos determinar a lista de números entre 1 e 30.

• Cria uma lista de todos os números inteiros de 2 até o valor limite: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, e 30.

• Encontre o primeiro número da lista. Ele é um número primo, 2.

• Remova da lista todos os múltiplos do número primo encontrado, o 2, a azul na figura abaixo). No nosso exemplo, a lista fica: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 e 29.

• O próximo número da lista é primo. Repita o procedimento. No caso, o próximo número da lista é 3. Removendo seus múltiplos (a verde), a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25 e 29. O próximo número, 5, ( a vermelho) também é primo; a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. 7 é o último número a ser verificado (a amarelo). Assim, a lista encontrada contém somente números primos.

Em resumo: Um número natural é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores: o número um e ele mesmo. 

Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C.. 

A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também é utilizada como substantivo ou adjetivo. Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois. 

Se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto. Por convenção, os números 0, 1 e -1 não são considerados primos nem compostos. 

O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração). 

Os 100 primeiros números primos positivos são: 

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541 

Números Imaginários

Números Imaginários, o que é isso?

A primeira ideia que nos ocorre ao ouvirmos alguém mencionar números imaginários, é de que são números que não existem, que fazem parte dum mundo de fantasia. Algo que é criado por nós mesmos no nosso subconsciente. Talvez prevaleça a ideia de que cada um de nós faz a sua própria representação de um determinado tipo de números. Ou melhor, cada um de nós representa o número consoante a nossa imaginação.

Pois bem... não é isso o número imaginário.

Antes de explicar o que é o número imaginário, será melhor reflectir sobre a representação que nós fazemos de número em geral. Ou seja, até que ponto é algo que foi inventado ou construído pelo homem, ou se este existe independentemente do mundo e do sujeito.

A origem do conceito de número surgiu como expressão de uma quantidade de elementos, isto é, como resultado do processo de contar. Mas com o decorrer dos tempos, a definição foi sofrendo alterações, já que do conceito original se iam obtendo novas definições e interpretações mais gerais. O conceito de número é de fundamental importância na Matemática, pois pode dizer-se que  esta “(...) ciência nasce com a descoberta (...) [dos números] e a sua evolução está ligada ao seu desenvolvimento e estudo; por outro lado, o conceito de número é a primeira abstracção da realidade na história da humanidade.” (Moderna Enciclopédia Universal, vol. XIV, p. 69).

Da natureza do número, há quem defenda que o número é uma ideia. O número não é um símbolo escrito como 2 ou dois, é uma ideia que é simbolizada por 2 ou dois. É algo inatingível. É algo que só existe mentalmente, e quando falamos ou escrevemos o número, parece-nos mais alcançável ou real, mas é apenas a representação de uma ideia. A representação dos primeiros números, os naturais, surgiu para responder a questões de quantidades. Os números mais pequenos que são reconhecidos são 1,2,3,4,5 e 6. Os restantes são obtidos através da soma ou produto destes.

Mas, os números não se reduzem aos naturais. A criação de números mais sofisticados, teve a mão do Homem pois as exigências quotidianas a tal o obrigaram. Com isto, surgem os números negativos e o zero, dando lugar aos números inteiros. Como era algo novo houve alguma relutância em aceitar a existência de números negativos, números que são inferiores ao zero, ao nada. Mas, as diversas utilidades que estes proporcionaram, ajudaram à aceitação. Digamos que, no senso comum, não é muito usual falar em –2flores. No entanto, ao falarmos de temperaturas negativas, saldos bancários negativos, entre outros aspectos do dia-a-dia, já nos parece credível aceitar a existência de números negativos.

O surgimento dos números fraccionários ou racionais provocou alguma dificuldade. O seu significado é facilmente compreendido, já que estão intimamente ligados à vida real e à linguagem quotidiana. Intuitivamente, temos a ideia de fracção ligada a algo que é repartido: meia garrafa, um quarto de laranja, um terço do terreno, etc. Contudo, a sua representação suscitou algumas barreiras. Estes números são, fundamentalmente, a exteriorização de conceitos abstractos que representam a razão entre as quantidades de dois conjuntos.

O conjunto dos números reais é constituído pelos naturais, inteiros, racionais e irracionais e possui à seguinte definição de número  real “(...) é uma distância, medida em termos de uma dada unidade, com um sentido que lhe é conferido pelo sinal.” (Conway, 1999, p.230).

Essencialmente, com o correr dos tempos e à medida que se tornava necessário, cada um dos conjuntos dos números abordados foi surgindo como uma ampliação do conjunto anterior. Desta forma, o raciocínio feito até aqui leva-nos a pensar que os números são representações criadas pelo homem. O conjunto dos números complexos não é excepção.

O conjunto dos complexos é uma ampliação dos números reais, ou seja, do conjunto R. E é com este alargamento que vai ser possível resolver equações do tipo: x² + a = 0, com a > 0

Mas antes de falarmos concretamente destes números, devemos definir o que é a unidade imaginária i.

Quando resolvemos a equação: x² + 1 = 0

aplicando o método geral da resolução da equação deste gênero, temos: 

  x² = -1 Û   x = ±Ö (-1)

Mas como não conhecemos raízes quadradas de números negativos, tornou-se necessário inventar um número cujo quadrado seja igual a –1. Este número é designado por i.

Assim, podemos escrever que:   i = ±Ö (-1)

e de acordo com a definição dada,  i² = -1.

Além disto, o conceito de unidade imaginária é ampliada para os seus múltiplos. Por exemplo,

  x = ±Ö (-9)  Û  x = ± 3i.

Assim, o homem foi capaz de produzir ou criar um número que até então era uma barreira inultrapassável no cálculo de raízes com números negativos.

Por outro lado, o surgimento destes números teve como engenho, a necessidade de calcular distâncias no plano cartesiano, sem ser da esquerda para a direita e vice-versa, ao longo de uma dada linha (no caso da recta real). Então, esta procura levou à criação dos números complexos. Estes números, cuja notação é: z = a + ib, são constituídos por uma parte real (a) e uma parte imaginária (b).

Desta forma, é possível ao homem representar distâncias entre dois pontos quaisquer do plano, sem se preocupar com a direcções que toma. Ou seja, definem-se números complexos “(...) como distâncias ao longo de direcções arbitrárias num plano fixado.” (Conway, 1999, p. 230).

Determinante de uma matriz: Regra de Chió

Sabemos que a maioria das regras que temos para o cálculo de determinantes de matrizes é aplicada apenas a matrizes de ordem igual ou menor que 3. É possível calcular os determinantes de matrizes de ordem maior, porém esse cálculo oferece grande dificuldade.

No perpassar dos conceitos de determinantes, aprendemos formas e procedimentos que ajudam a encontrar os determinantes das matrizes quadradas de ordem 3. A regra de Chió nos permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n, utilizando uma matriz de ordem menor (ordem n-1).

Entretanto, para se utilizar esta regra é necessário que o elemento a₁₁ seja igual a 1. Caso isso ocorra, poderemos utilizar os passos desta regra. Veja:
 

• Suprima a primeira linha e a primeira coluna da matriz.

• Dos elementos que restaram, subtraia o produto dos dois elementos suprimidos (um da linha e o outro da coluna) correspondente a este elemento restante. Por exemplo, no elemento a₂₃ você realizará o produto do elemento da segunda linha da coluna que foi suprimida pelo elemento da terceira coluna da linha que foi suprimida.
• Com os resultados das subtrações realizadas no passo anterior, será obtida uma nova matriz, matriz esta com ordem menor, entretanto com determinante igual à matriz original.

Veja no exemplo a seguir.



De cada elemento da nova matriz subtrairemos o produto dos elementos suprimidos (elementos coloridos).

Veja que o cálculo do determinante desta nova matriz pode ser feito pela regra de Sarrus. Determinante este que será o mesmo da matriz inicial de ordem 4.

Mas lembre-se que esta regra só pode ser utilizada se o elemento a₁₁ for igual a 1, caso contrário não será possível suprimir os elementos da linha e da coluna.

Contido em: http://www.brasilescola.com/matematica/determinante-matriz-regra-chio.htm, pesquisado em 09/12/2014 as 12h00.

Determinante de uma matriz - Teorema de Laplace

O teorema de Laplace consiste num método de calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem n ≥ 2 utilizando o cofator.

Lembrando que o cofator do elemento aij de uma matriz quadrada é o número:

Para calcular o determinante de uma matriz M quadrada de ordem n ≥ 2 utilizando o Teorema de Laplace, devemos proceder da seguinte forma:

1. Escolha qualquer fila (linha ou coluna) da matriz M.

2. Multiplique cada elemento da fila pelo seu respectivo cofator.

3. O teorema de Laplace diz que o determinante da matriz M será a soma dos produtos dos elementos da fila pelos seus respectivos cofatores.

Como já dispomos de métodos práticos para o cálculo do determinante de matrizes quadradas de ordem 2 e 3, é interessante aplicar o Teorema de Laplace para matrizes de ordem maior ou igual a 4.

Faremos alguns exemplos de aplicação do teorema proposto.

Exemplo 1. Calcule o determinante da matriz abaixo utilizando o dispositivo prático de Sarrus e o Teorema de Laplace.

Solução: Primeiro, vamos calcular o determinante utilizando o método prático de Sarrus.

Agora, vamos calcular o determinante utilizando o Teorema de Laplace.

Devemos escolher qualquer linha ou coluna da matriz M. Nesse caso, escolheremos a linha 2.

Agora, multiplicaremos cada elemento da linha pelo seu respectivo cofator:

Logo, o determinante será a soma desses produtos, ou seja:
D = – 6 + 3 +( – 1) = – 4.

Observe que nesse caso o dispositivo prático de Sarrus torna o cálculo do determinante bem mais simples que o Teorema de Laplace, como foi dito anteriormente.

Exemplo 2. Calcule o determinante da matriz a seguir utilizando o Teorema de Laplace.

Solução: Devemos escolher uma linha ou uma coluna da matriz A.

Se escolhermos a coluna 2, teremos:

Pelo teorema de Laplace, sabemos que:
D = a₁₂∙A₁₂ + a₂₂∙A₂₂ + a₃₂∙A₃₂ + a₄₂∙A₄₂

Segue que:

Assim, o determinante da matriz A será:

D = 3∙9 + 2∙48 + 1∙(-24) + 1∙(-15) = 27 + 96 - 24 - 15 = 84

Contido em: http://www.alunosonline.com.br/matematica/o-teorema-laplace.html; pesquisado em 09/12/2014 as 12h00.

Números Complexos

Eles resolvem muitos problemas que não podem ser solucionados no conjunto dos números Reais. Os números Impossíveis ou Imaginários, como também são conhecidos hoje, inauguraram um extenso campo de estudos na Matemática, em particular nas equações algébricas. Eles permitem, por exemplo, que possamos extrair a raiz quadrada de um número negativo ou resolver equações da forma x² + a = 0 (a > 0).

O conjunto dos números complexos é representado por IC, e definido como o conjunto dos pares ordenados compostos por números reais, onde são definidas a adição e a multiplicação e a igualdade.

• Adição: ( a, b) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ).
• Multiplicação: ( a, b) . ( c, d ) = ( ac - bd, ad + bc ).
• Igualdade: ( a, b) = ( c, d ) , onde a = c, b = d.

Deve-se considerar que o conjunto IR está contido no conjunto IC. Sendo que, por exemplo, o número real a possui como parte complexa 0. Ele será o número complexo (a, 0).

Unidade imaginária é indicada pela letra i  , sendo que seu valor é ( 0, 1),
onde se realizarmos i² teremos i.i = ( 0, 1). ( 0, 1) = ( 0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0 ) = (–1,0).
Assim temos a notação usual que i² = – 1. E que i = 

Tomando-se um número z = ( a, b), teremos que z = a + bi. Portanto se assim considerarmos termos que a é a parte real de z e b a parte complexa de z.

Para esta nova notação iremos definir as operações novamente de maneira mais usual.

• Adição: (a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Multiplicação: (a + bi).( c + di) = ( ac – bd) + (ad + bc)i
• Igualdade: (a + bi) = ( c + di), onde a = c, b = d

Conjugado de um número complexo. ()
Se z = a + bi então  = a – bi

Teoremas conseqüentes desta definição:

Para a Divisão de números complexos devemos proceder de forma semelhante à racionalização.
Assim temos, z = a + bi ,  = a – bi e z₁ = c + di

Para calcularmos a razão entre z₁ e z devemos: 

Representação geométrica de um número complexo.

Sendo z = a + bi , |z| = 

Pela representação gráfica temos que 

Onde substituindo em z = a + bi encontraremos a forma trigonométrica de um número complexo.

Exemplo: z =  iremos representa-lo na forma trigonométrica.

Sendo que 
Onde 

Assim sua representação na forma trigonométrica é  .

Contido em: http://www.infoescola.com/matematica/numeros-complexos/, pesquisado em 08/12/2014 as 23h00.