Matemáticos de Mogi: Periodo de uma função Trigonométrica

Funções Co-seno e Seno

Introdução :
Considere um ângulo t , medido em radianos num círculo de equação x ² + y ² = 1 . Esta medida é o comprimento do arco desde o ponto ( 1 , 0 ) até o ponto P ( x , y ) , no sentido anti-horário .

Definição de Seno e Co-seno:
As funções trigonométricas co-seno e seno são :

cos t = a primeira coordenada de P = ( x , y ) , x

sen t = a segunda coordenada de P = ( x , y ) , y

Observação 4-1 : Uma conseqüência imediata da definição

( já que o ponto P = ( x , y ) = ( cos t , sin t ) pertence ao círculo unitário com centro na origem ) é a identidade fundamental

( sen t ) ² + ( cos t ) ² = 1

Quando t cresce e P move em torno do círculo , os valores do seno e do co-seno de t oscilam , e acabam se repetindo quando P retorna a pontos onde já tenha estado . Os físicos usam bastante o termo oscilação para funções que se comportam como o seno e o co-seno .

Definição: A amplitude de uma oscilação é a metade da distância entre os valores máximo e mínimo . O período de uma oscilação é o tempo necessário para que a oscilação execute um ciclo completo .

Observação 4-2 :

A amplitude de sen t e de cos t é 1 , pois como ( sen t ) ² + ( cos t ) ² = 1 temos

| sen t | £ 1 e | cos t | £ 1

O período é 2 p , já que este é o valor do comprimento do círculo de raio 1 . Assim ,

sen ( t + 2 p ) = sen ( t ) e cos ( t + 2 p ) = cos ( t )

Este comportamento oscilatório das funções seno e co-seno faz com que as equações

sen ( t ) = a e cos ( t ) = a

tenham infinitas ou nenhuma solução . Por exemplo , as infinitas soluções de cos t = 1 são da forma t = 2 k p , t Î

e a equação cos t = 2 não possui nenhuma solução .

Função Seno : ( Ý )

f ( x ) = sen ( x ) , Dom f = IR e Im f = [ -1 , 1 ] .

Observe o gráfico da função seno em uma animação .

Função Co-seno : ( Ý )

f ( x ) = cos ( x ) , Dom f = IR e Im f = [ -1 , 1 ] .

Observe o gráfico da função co-seno em uma animação .

Observação 4-3 : ( Ý )

( i ) Vamos observar os gráficos das funções seno e co-seno na mesma animação .

( i i ) Observe os gráficos de seno e co-seno juntos .

( i i i ) Observe na tabela abaixo o sinal do seno e do cosseno .

1^o Quadrante	2^o Quadrante

sen ( t ) ³ 0 e cos ( t ) ³ 0	sen ( t ) ³ 0 e cos ( t ) £ 0

3^o Quadrante	4^o Quadrante

sen ( t ) £ 0 e cos ( t ) £ 0	sen ( t ) £ 0 e cos ( t ) ³ 0

( i v ) Nas tabelas abaixo vamos ver os valores de seno e co-seno para alguns ângulos .

	0
sen	0	1	0	– 1	0
cos	1	0	– 1	0	1


sen
cos

( estes valores devem ser entendidos e memorizados )

Algumas propriedades das funções seno e co-seno :



		( dem )
		( dem )
		( dem )
		( dem )
		( dem )
Lei dos Co-senos : ( demonstração )

O co-seno e o seno são as funções trigonométricas básicas , já que todas as outras funções trigonométricas podem ser definidas em função do seno e do co-seno . Por exemplo , a função tangente é o quociente do seno pelo co-seno .

IV-2-ii. Função Tangente

Definição:

A função tangente é definida por

, para todo x real tal que cos x não se anula .

Observe a variação do valor da tangente no círculo trigonométrico na animação ao lado .

Note que as interseções da função tangente com o eixo x são as mesmas da função seno . Além disso , a tangente possui polos nos zeros da função co-seno . Geometricamente é evidente que a tangente é periódica com período p .