Funções Co-seno e Seno
Introdução :
Considere um ângulo t , medido em radianos num círculo de equação x 2 + y 2 = 1 . Esta medida é o comprimento do arco desde o ponto ( 1 , 0 ) até o ponto P ( x , y ) , no sentido anti-horário .
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Definição de Seno e Co-seno:
As funções trigonométricas co-seno e seno são :
cos t = a primeira coordenada de P = ( x , y ) , x
sen t = a segunda coordenada de P = ( x , y ) , y
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Observação 4-1 : Uma conseqüência imediata da definição
( já que o ponto P = ( x , y ) = ( cos t , sin t ) pertence ao círculo unitário com centro na origem ) é a identidade fundamental
( sen t ) 2 + ( cos t ) 2 = 1
Quando t cresce e P move em torno do círculo , os valores do seno e do co-seno de t oscilam , e acabam se repetindo quando P retorna a pontos onde já tenha estado . Os físicos usam bastante o termo oscilação para funções que se comportam como o seno e o co-seno .
Definição: A amplitude de uma oscilação é a metade da distância entre os valores máximo e mínimo . O período de uma oscilação é o tempo necessário para que a oscilação execute um ciclo completo .
Observação 4-2 :
A amplitude de sen t e de cos t é 1 , pois como ( sen t ) 2 + ( cos t ) 2 = 1 temos
| sen t | £ 1 e | cos t | £ 1
O período é 2 p , já que este é o valor do comprimento do círculo de raio 1 . Assim ,
sen ( t + 2 p ) = sen ( t ) e cos ( t + 2 p ) = cos ( t )
Este comportamento oscilatório das funções seno e co-seno faz com que as equações
sen ( t ) = a e cos ( t ) = a
tenham infinitas ou nenhuma solução . Por exemplo , as infinitas soluções de cos t = 1 são da forma t = 2 k p , t Î 
e a equação cos t = 2 não possui nenhuma solução .
f ( x ) = sen ( x ) , Dom f = IR e Im f = [ -1 , 1 ] .
Observe o gráfico da função seno em uma animação .
f ( x ) = cos ( x ) , Dom f = IR e Im f = [ -1 , 1 ] .
Observe o gráfico da função co-seno em uma animação .
( i ) Vamos observar os gráficos das funções seno e co-seno na mesma animação .
( i i ) Observe os gráficos de seno e co-seno juntos .
( i i i ) Observe na tabela abaixo o sinal do seno e do cosseno .
| 1o Quadrante | 2o Quadrante |
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| sen ( t ) ³ 0 e cos ( t ) ³ 0 | sen ( t ) ³ 0 e cos ( t ) £ 0 |
| 3o Quadrante | 4o Quadrante |
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| sen ( t ) £ 0 e cos ( t ) £ 0 | sen ( t ) £ 0 e cos ( t ) ³ 0 |
( i v ) Nas tabelas abaixo vamos ver os valores de seno e co-seno para alguns ângulos .
| | 0 |  |  |  |  |
| sen | 0 | 1 | 0 | – 1 | 0 |
| cos | 1 | 0 | – 1 | 0 | 1 |
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( estes valores devem ser entendidos e memorizados )
Algumas propriedades das funções seno e co-seno :
O co-seno e o seno são as funções trigonométricas básicas , já que todas as outras funções trigonométricas podem ser definidas em função do seno e do co-seno . Por exemplo , a função tangente é o quociente do seno pelo co-seno .
IV-2-ii. Função Tangente
Definição:
A função tangente é definida por
 , para todo x real tal que cos x não se anula .
Observe a variação do valor da tangente no círculo trigonométrico na animação ao lado .
Note que as interseções da função tangente com o eixo x são as mesmas da função seno . Além disso , a tangente possui polos nos zeros da função co-seno . Geometricamente é evidente que a tangente é periódica com período p .
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Função Tangente :
Observe o gráfico da função tangente em uma animação .
Observação :
Outras Funções Trigonométricas
IV-2-iii. Função Co-tangente
Função Co-tangente :
Observe a variação do valor da co-tangente no círculo trigonométrico em uma animação .
IV-2-iv. Função Secante
Função Secante :
Observe a variação do valor da secante no círculo trigonométrico em uma animação .
IV-2-v. Função Co-secante
Função Co-secante :
Observe a variação do valor da co-tangente no círculo trigonométrico em uma animação .
Agora , observe o gráfico da função co-secante na animação abaixo .
Algumas propriedades das funções tangente , co-tangente , secante e co-secante :
Exemplo :
Esboce o gráfico das seguintes funções no intervalo indicado :
Solução:
