sexta-feira, 12 de dezembro de 2014

Semelhança de triângulos

Conceito: Duas figuras são semelhantes se tiverem a mesma forma (não importa o tamanho).
EXEMPLOS

Dizemos que:

-- Duas circunferências são sempre semelhantes.

-- Dois quadrados são sempre semelhantes.

TRIÂNGULO SEMELHANTES

Observe que:

-- Os ângulos correspondentes são congruentes.

-- Os lados correspondentes são proporcionais

Então: Dois triângulos semelhantes têm ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais, em símbolos:

Observação: A constante K é chamada razão de semelhança

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Solução: Como os triângulos são semelhantes, temos:

a) 3/6 = x/8 =y/11

3/6 = x/8

6x= 24/6

x = 4

b) 3/6 = y/11

6y = 33

y = 5,5

EXERCÍCIOS

1) Sabendo-se que os triângulos são semelhantes, calcule x e y

TEOREMA FUNDAMENTAL

Toda a reta paralela a um lado de um triângulo e que intercepta os outros dois lados determina um triângulo semelhante ao primeiro.

Devemos provar que os triângulos ADE e ABC têm os três ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.

1º parte

2º Parte

Nos triângulos os lados correspondentes são proporcionais..

CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULO

Não é necessário conhecer todas as condições de semelhança de triângulos para chegar à conclusão de que eles são semelhantes basta algumas delas.

1) CASO AA (ângulo - ângulo)

Dois triângulos são semelhantes se têm dois ângulos correspondentes congruentes.

2) CASO LAL (lado - ângulo - lado)

Dois triângulos são semelhantes se têm dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo correspondente entre eles congruentes.

3) CASO LLL (lado --lado--Lado)

Dois triângulos são semelhantes se têm os lados correspondentes proporcionais

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Na figura abaixo, os triângulos são semelhantes. Calcular x

2) Na figura abaixo, os triângulos são semelhantes. Calcule x.

EXERCÍCIOS

2) Calcule y:

3) Calcule x:

4) Calcule y , sabendo que os triângulos são semelhantes:

Contido em: http://jmpgeograafia.blogspot.com.br/2011/10/semelhanca.html, pesquisado em 12/12/2014 as 14h30min.

A relação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler possui extrema importância na determinação do número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo e alguns não convexos. Essa relação permite que os cálculos sejam realizados no intuito de determinarmos o número de elementos de um poliedro. A fórmula criada por Euler é a seguinte:

V – A + F = 2, onde V = número de vértices, A = número de arestas e F = número de faces.

Exemplo 1

Determine o número de faces de um sólido que possui 10 arestas e 6 vértices.
Resolução:
V – A + F = 2
6 – 10 + F = 2
–4 + F = 2
F = 4 + 2
F = 6
Portanto, o sólido possui 6 faces.

Exemplo 2

Determine o número de vértices da pirâmide quadrangular a seguir:

Visivelmente podemos afirmar que a pirâmide possui 5 vértices, 5 faces e 8 arestas. Vamos agora demonstrar que a relação de Euler é válida na determinação dos elementos da pirâmide de base quadrangular.
Resolução:
Vértices
V – A + F = 2
V – 8 + 5 = 2
V = 2 + 3
V = 5

Arestas
V – A + F = 2
5 – A + 5 = 2
–A = 2 – 10
–A = –8 x(–1)
A = 8

Faces
V – A + F = 2
5 – 8 + F = 2
–3 + F = 2
F = 2 + 3
F = 5

Podemos notar que a relação de Euler é realmente válida na determinação dos elementos de um sólido convexo.

Exemplo 3

O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Determine, utilizando a relação de Euler, o número de faces do poliedro.
Resolução:
Considerando que o número de faces é igual ao número de vértices, podemos representar os valores desconhecidos pela incógnita x. Dessa forma, F = x e V = x.

Aplicando a relação de Euler:
V – A + F = 2
x – 22 + x = 2
2x = 2 + 22
2x = 24
x = 12

Portanto, o número de faces do poliedro com 22 arestas é igual a12.

Contido em: http://www.brasilescola.com/matematica/relacao-euler.htm; pesquisado em 12/12/2014 as 14h00.

Sólidos de Platão

Os sólidos de Platão também são denominados de poliedros, pois são formados por faces, arestas e vértices. As faces são constituídas por seções de planos, considerando que entre duas faces temos as arestas, as quais possuem em suas extremidades os vértices.
Platão foi um filósofo grego, que viveu entre os séculos V e IV a.C., e estabeleceu importantes propriedades em alguns poliedros. Os poliedros de Platão possuem características próprias e se enquadram nas seguintes condições:

O número de arestas é igual em todas as faces;
Os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas;
Nos sólidos considerados poliedros de Platão vale a relação de Euler (V – A + F = 2) onde V = vértices, A = arestas e F = faces.
O prisma a seguir pode ser considerado um Poliedro da Platão, pois se encaixa nas condições descritas anteriormente.

As seis faces do sólido são quadriláteros, isto é, são formadas por quatro arestas.
Os ângulos são triédricos, pois todos são formados por três arestas.
A relação de Euler pode ser aplicada, observe:
O sólido possui oito vértices, seis faces e 12 arestas:
V – A + F = 2
8 – 12 + 6 = 2
14 – 12 = 2
2 = 2 (verdadeiro)

Os poliedros de Platão são classificados em cinco classes de acordo com a tabela a seguir:

Platão estabeleceu algumas relações entre as classes de poliedros e a construção do Universo. Ele associou os poliedros cubo, icosaedro, tetraedro e octaedro, respectivamente, aos elementos terra, água, fogo e ar; e o dodecaedro foi associado ao universo. Conheça os poliedros de Platão:

O tetraedro possui 4 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas.

O cubo (hexaedro) possui 6 faces quadrangulares, 8 vértices e 12 arestas.

O octaedro possui 8 faces triangulares, 6 vértices e 12 arestas.

O dodecaedro possui 12 faces pentagonais, 20 vértices e 30 arestas.

O icosaedro possui 20 faces triangulares, 12 vértices e 30 arestas.

Platão, em seus estudos, relacionou cada poliedro a elementos da natureza. Observe a relação:

Tetraedro: fogo
Cubo (hexaedro): terra
Octaedro: ar
Icosaedro: água
Dodecaedro: cosmos

Contido em: http://www.escolakids.com/poliedros.htm e http://www.brasilescola.com/matematica/os-solidos-platao.htm; pesquisado em 12/12/2014 as 14h00.

quinta-feira, 11 de dezembro de 2014

Paralelismo e ângulos

Congruências entre ângulos determinados por retas transversais

Em geometria, alguns conceitos podem ser compreendidos e lembrados sempre, se os associarmos ao significado do nome.

Reconhecer e compreender as relações e, principalmente, as congruências entre ângulos determinados por retas transversais em retas paralelas é importante para a resolução de problemas relacionados a triângulos, quadriláteros e outros polígonos - bem como os próprios problemas com ângulos.

Vejamos alguns conceitos fundamentais que vão ser úteis:

Ângulos opostos pelo vértice:

Na figura, os ângulos marcados com a mesma cor são opostos pelo vértice e possuem a mesma medida, ou seja, são congruentes.

Ângulos suplementares:

São dois ângulos cuja soma vale 180º.

Na figura acima, sobre a mesma reta, temos um ângulo azul e um ângulo vermelho, cuja soma vale 180º, pois formam um ângulo raso.

Lembrados esses conceitos, vamos estudar as relações entre ângulos determinados por uma transversal em retas paralelas.

Observe a figura abaixo.

As retas r e s são paralelas "cortadas" pela transversal t.

Os ângulos 1, 2, 3 e 4 são os ângulos determinados pela transversal t em r - e os ângulos 5, 6, 7 e 8 são determinados por t em s.

Se "recortássemos" a figura conforme o pontilhado, poderíamos tranquilamente encaixar o pedaço recortado sobre a parte de baixo da figura, ou seja, os ângulos 1, 2, 3 e 4 "encaixariam" perfeitamente sobre os ângulos 5, 6, 7 e 8, nessa ordem:

Assim, dizemos que esses ângulos são correspondentes e, como podemos perceber, ângulos correspondentes têm a mesma medida.

Como os pares 1 - 4 e 5 - 8 são opostos pelo vértice e 1 - 5 e 4 - 8 são correspondentes, todos eles têm a mesma medida.

Pelo mesmo motivo, 2, 3, 6 e 7 também têm a mesma medida.

Formando ângulo raso, temos 1 - 2, 3 - 4, 5 - 6, 7 - 8. Cada um desses pares forma um ângulo raso. Sabendo que 2, 3, 6 e 7 têm a mesma medida (ângulos obtusos) e que 1, 4, 5 e 8 têm a mesma medida (ângulos agudos), podemos observar na figura um ângulo agudo qualquer e um obtuso qualquer sendo sempre suplementares.

Nomeando as propriedades

Agora vamos nomear essas propriedades observadas. Para isso, é preciso entender um pouco a nomenclatura utilizada em geometria.

Dadas duas retas paralelas e uma transversal, os ângulos determinados pela transversal na região entre as paralelas são chamados de internos. Logo, os que não estão entre as paralelas são chamados de externos.

Já os ângulos que estão do mesmo lado em relação à transversal, ou seja, do lado direito ou do lado esquerdo, são chamados colaterais. Os que estão em lados opostos são chamados alternos.

Voltando, então, à figura inicial, temos, em resumo:

Alternos	Internos: 3 e 6, 4 e 5	São congruentes (mesma medida).
Alternos	Externos: 1 e 8, 2 e 7	São congruentes (mesma medida).
Colaterais	Internos: 3 e 5, 4 e 6	Formam ângulo raso (medem juntos 180º).
Colaterais	Externos: 1 e 7, 2 e 8	Formam ângulo raso (medem juntos 180º).
Correspondentes	1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8	São congruentes.
Opostos pelo vértice	1 e 4, 5 e 8, 2 e 3, 6 e 7	São congruentes.

Contido em: http://educacao.uol.com.br/matematica/paralelismos-angulos.jhtm; pesquisado em 11/12/2014 as 14h40.

Soma dos ângulos internos de um triângulo

Por que a soma vale sempre 180^o?

Quem estuda um pouco de Geometria Plana sabe que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer vale 180^o. Mas, por que isso é sempre verdade? Veremos a seguir.

Considere o triângulo a seguir e seus ângulos internos: