Números - O que são os números?

Números nada mais são de que símbolos que representam as grandezas matemáticas que desejamos representar.

Resumidamente: Número é a indicação de quantidade.

Número é chamado também de dígito (dedo).

Por termos em geral 10 dedos nas mãos, temos o sistema decimal.

Em Matemática, os   números são classificados como naturais (1, 2, 3, ...), inteiros (...-2, -1, 0, 1, 2, ...), racionais (contêm os inteiros e as suas frações ou razões), reais (contêm os racionais e outros que não podem ser expressos através de uma fração, como por exemplo √2 ou π) e ainda, os números complexos (contêm os números reais e raízes negativas).

Um número é um conceito matemático para a representação de medida, ordem ou quantidade. Os números de ordem (primeiro, segundo, terceiro...) são designados por ordinais e os de quantidade (1, 2,3...) são designados por cardinais. Números de medida ou quantidade são expressos na base decimal pelos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, podendo ter uma parte inteira (antes da vírgula) e uma parte decimal (após a vírgula). Por exemplo o número 2,37 tem 2 como parte inteira e 0,37 como parte decimal.

O matemático e filósofo grego Pitágoras considerava os números como a essência e o princípio de todas as coisas.

A numerologia é uma pseudociência que tem por objetivo o estudo do significado oculto dos números. De acordo com os estudiosos, os números exercem influência no presente e no futuro das pessoas, alterando traços da personalidade e comportamento ao longo da vida.

Uma curiosidade sobre os números, é o fato de eles serem separados por grupos com características próprias.

Muitos matemáticos estudaram, e estudam características destes números, pois são importantes para o desenvolvimento e aplicação de conceitos matemáticos.
Vou dar alguns exemplos destes números que muitas vezes passam por meros coadjuvantes na matemática. 

Divisores próprios

Chamam-se divisores próprios de um número a todos os divisores diferentes do próprio número. Por exemplo, os divisores de 10 são: 1, 2, 5 e 10. Os divisores próprios de 10 são apenas o 1, o 2 e o 5.

Números perfeitos 

Um número perfeito é aquele cuja soma dos divisores próprios é igual a esse número. Por exemplo, o número 6 é um número perfeito. Repara que os divisores de 6 são: 1, 2, 3 e 6, sendo os divisores próprios o 1, o 3 e o 3. A sua soma é 1+2+3=6. Então, o 6 é um número perfeito.
Para além dos números perfeitos existem números deficientes e abundantes.

Os números deficientes são aqueles em que a soma dos seus divisores próprios é menor do que esse número. Por exemplo, os divisores próprios de 10 são o 1, o 2 e o 5. A sua soma é 1+2+5=8 < 10. Então, 10 é um número deficiente.
Os números abundantes são aqueles em que a soma dos seus divisores próprios é maior do que esse número. Por exemplo, o 18 é um número abundante. Os divisores próprios de 18 são: 1, 2, 3, 6 e 9. A sua soma é 1+2+3+6+9=21 > 18. Então, 18 é um número abundante.
A divisão dos números nestes três tipos (deficientes, perfeitos e abundantes) pode já apresentar aspectos curiosos e que vale a pena serem realçados: os mais numerosos são os deficientes e os mais raros são os perfeitos; 6 é o primeiro perfeito e 12 o menor abundante; existem 21 números abundantes menores que 100; apenas são conhecidos números perfeitos pares…

A busca dos números perfeitos iniciou-se na Antiga Grécia e existem provas de que os gregos conheciam os primeiros quatro números perfeitos: 6, 28, 496 e 8128. Até 1952, data em que se começaram a usar os computadores, tinham sido descobertos, além dos quatro conhecidos na Antiguidade, apenas mais 8 números perfeitos. O maior deles era 2126 x(2127 – 1), um número de uma ordem de grandeza enorme.

Euler demonstrou no século XVIII, que todos os perfeitos pares eram da forma. 

                                          2p+1 x(2p – 1), com p primo

Este segundo fator tem de ser também primo.

Os primos desta forma: (2p – 1) chamam-se números de Mersenne. Portanto, quando se descobre um número de Mersenne, descobre-se também um número perfeito. 

Vamos então ver o que são os NÚMEROS DE MERSENNE:

Os números de  Mersenne são os números da forma:

M_p = 2^p - 1, com "p" número primo.

Quando 2 ≤ n ≤ 5000 os números de Mersenne, primos, são chamados de primos de Mersenne.

São eles: para p = 2 temos 3, como primo de Mersenne

              para p = 3 temos 7, como primo de Mersenne

              para p = 5 temos 31, como primo de Mersenne

              para p = 7 temos 127, como primo de Mersenne  •   •   •

Com p = 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253 e 4423, obtemos os primos de Mersenne. Para p = 11, obtemos o número de Mersenne composto, 23 × 89. 

E o mais interessante é que eles estão ligados entre si. Por isso é importante entendermos certas características dos números, independente da importância dele para a matemática.