O número sete

O número SETE é com certeza o mais presente em toda filosofia e literatura sagrada desde os tempos imemoriais até os nossos dias. O número SETE é sagrado, perfeito e poderoso, afirmou Pitágoras, matemático e Pai da Numerologia. É também considerado um número mágico. É um número místico por excelência. Indica o processo de passagem do conhecido para o desconhecido. O SETE é uma combinação do TRÊS com o QUATRO; O TRÊS, representado por um triângulo, é o Espírito; o QUATRO, representado por um quadrado, é a Matéria. O SETE podemos dizer que é Espírito na Terra, apoiado nos quatro Elementos, ou a Matéria “iluminada pelo Espírito”. É a Alma servida pela Natureza.

O número QUATRO que simboliza a Terra, associado ao TRÊS, que simboliza o Céu, permite inferir que o SETE representa uma Totalidade em Movimento ou um Dinamismo Total, isto é, a Totalidade do Universo em Movimento.

O SETE é o número da Transformação, é a primeira manifestação do homem para conhecer as coisas do espírito, as coisas de Deus, a Criação. Ele é o número da Perfeição Divina, pois no sétimo dia Deus descansou de todas as suas obras. Ao lado do TRÊS, é o mais importante dos números sagrados na tradição das antigas culturas orientais.

Entre os judeus a concepção oriental do SETE se manifesta no Candelabro de sete braços (MENORAH), que representa tanto a divisão em Quatro partes da órbita da Lua, que dura 4 vezes 7, quanto os sete planetas.

Na Europa Medieval dava-se muita importância aos grupos de sete:

• Havia SETE dons do Espírito Santo, representados na arte gótica em forma de Pomba;
• SETE eram as virtudes;
• SETE eram as artes;
• SETE as ciências;
• SETE eram os sacramentos;
• SETE pecados capitais; e
• SETE pedidos expressos no Pai Nosso.

Na Antiga China o SETE deveria ser associado, enquanto número ímpar, ao princípio masculino do Yang (cf. yin-yang), mas exprimia a ordenação dos anos de vida da mulher, que hoje se sabe estão presentes de forma similar também na vida do homem. A repetição por sete dias também era importante no culto dos mortos: a cada sete dias depois do falecimento, até o 49o.dia eram organizados festejos e sacrifícios em memória do morto. No sétimo dia do sétimo mês ocorria uma grande festa para as jovens mulheres e as moças.

Podemos citar ainda várias outras “coincidências” (?) em relação ao SETE: São 7 as notas musicais, foram 7 as pragas do Egito, são 7 os Arcanjos, são 7 as obras de misericórdia. 7 são os níveis de densidade da matéria que nos envolve. O arco-íris tem 7 cores. Nossas células todas mudam de 7 em 7 anos. Temos 7 glândulas endócrinas. São sete os nossos chacras. Os 7 dias da semana também marcam profundamente nossos ritmos.

TEMOS CICLOS DE VIDA DE SETE EM SETE ANOS.

A cada sete anos encerramos um ciclo de vida e entramos noutro. Todas as grandes mudanças ocorrem entre o final de um ciclo e o início de outro.

Até os 7 anos a criança é INOCENTE.

A partir daí, até os 14 anos, ela aprende a ser esperta, a fazer jogos, a usar máscaras. Aos 14 anos desabrocha a sexualidade e ela se interessa pelo outro. Uma nova visão de vida surge e ela começa a sonhar e a fantasiar.

Com 21 anos surge a necessidade de ser poderoso: ter mais dinheiro, tornar-se famoso, conquistar prestígio.

Aos 28 anos ela começa a se assentar, a pensar em segurança, conforto, conta bancária.

Chegando aos 35 anos novamente uma mudança começa a acontecer. Surgem considerações sobre o significado da vida, da morte e entra o medo. É também a idade onde algumas doenças começam a se manifestar.

Com 42 anos uma pessoa começa a ficar religiosa. Agora, a morte e o significado da vida, não são mais só assuntos intelectuais e ela começa a ser dar conta que se quiser realmente quisermos fazer algo, é bom começar logo. Com 42 anos a pessoa precisa de alguma religião, assim como aos 14 ela necessitava um relacionamento sexual.

Ao chegar aos 49 anos ela se assenta em relação à religião. Ela já encontrou algumas respostas que vão além do mundo material e objetivo. Com 56, se as coisas ocorrerem naturalmente e a pessoa seguir seu ritmo, ela começa a ter alguns vislumbres do divino.

Com 63 anos, se tudo continuar seu curso natural, ela terá seu primeiro “satori” – compreensão, iluminação. E se isto acontecer nessa idade, ela poderá ter uma morte bonita, pois ela será uma porta para o divino.

A cada sete anos o corpo chega a um ponto aonde o velho vai e o novo se assenta e há um período transitório. Nesse período TRANSITÓRIO, tudo é LÍQUIDO. Se você quiser que alguma nova dimensão penetre em sua vida, este é o momento preciso! Quando as coisas são líquidas, a transformação é fácil.

Dentro dos grandes ciclos do mundo, nós estamos vivendo esse período TRANSITÓRIO, onde tudo é LÍQUIDO. Velhos códigos e mandamentos tornaram-se inúteis e novos padrões ainda não estão assentados.

Este é, portanto, um período onde grandes mudanças podem ocorrer, novos rumos podem ser tomados e toda a humanidade está se dando conta disso.

Contido em: http://www.numberseven.com.br/restaurante/numero/, pesquisado em 29/07/2015 as 10h00.

Os números - Raul Seixas

Sou fã do Raul Seixas e abaixo tem uma música dele sobre números.
Bem interessante.
Coloco também um vídeo com ela cantada.

Compositores: Raul Seixas E Paulo Coelho

Meus amigos,
essa noite
tive alucinação.
Sonhei com um bando de números
invadindo o meu sertão.
Vi tanta coincidência
que eu fiz essa canção.

Vou falar do número 1.

Falar do número 1
não é preciso muito estudo.
Só se casa uma vez.
Foi só um Deus que criou tudo.
Uma vida só se vive.
Só se usa um sobretudo.

Agora, o 12.

É só de pensar no 12
que eu então quase desisto.
São doze os meses do ano.
Doze apóstolos de Cristo.
Doze horas são meio-dia,
haja dito e haja visto.

Agora, o 7.

Sete dias da semana.
Sete notas musicais.
Sete cores no arco-íris
das regiões divinais.
E se pinta tanto o sete,
eu já não agüento mais!

Agora, o 2.

E no dois, o homem luta
entre coisas diferentes.
Bem e mal, amor e guerra,
preto e branco, bicho e gente,
rico e pobre, claro e escuro,
noite e dia, corpo e mente.

Agora, o 4.

O quatro é importante.
Quatro pontos cardeais.
Quatro estações do ano.
Quatro pés tem o animal.
Quatro pernas tem a mesa.
Quatro dias o Carnaval.

Pra encerrar!

Eu falei de tantos números,
talvez esqueci algum...
Mas as coisas que eu disse 
não são lá muito comuns.
Quem souber, que conte outra,
ou que fique sem nenhum!

Telescópio da Nasa descobre planeta 'primo da Terra'

• NASA / JPL-Caltech / T. Pyle
  
  Ilustração produzida pela Nasa compara a Terra (à esquerda) ao novo planeta chamado Kepler-452b, cujo diâmetro é 60% maior do que o da Terra

O Telescópio Espacial Kepler, da Nasa (Agência Espacial Norte-Americana), divulgou nesta quinta-feira (23) a existência do primeiro planeta semelhante à Terra na "zona habitável", ou seja, em torno de uma estrela semelhante ao Sol e com possibilidade de abrigar água líquida. O planeta foi chamado de 'uma outra Terra" pela Nasa.

O exoplaneta Kepler-452b tem diâmetro 60% maior do que o da Terra e, por isso, acredita-se que ele também tenha formação rochosa, embora sua massa e sua composição ainda não estejam totalmente determinados. A estrela Kepler-452 tem 6 bilhões de anos, 1,5 bilhão mais velha do que o nosso Sol, e o planeta tem órbita de 385 dias (bem próxima aos nossos 365 dias). O Kepler-452b está localizado a 1.400 anos-luz de distância da Terra, na constelação de Cygnus. 

"Podemos pensar o Kepler-452b como um primo mais velho, maior que a Terra, que fornece uma oportunidade para entender e refletir sobre o ambiente em evolução da Terra", disse Jon Jenkins, diretor do Centro da Nasa na Califórnia.

"Hoje estamos anunciando a descoberta de um exoplaneta que podemos dizer que é um primo muito próximo da Terra. É o mais próximo até agora. É Terra 2.0", disse John Grunsfeld, da Nasa.

Hoje sabemos que a Terra é apenas uma das centenas de bilhões de planetas de nossa galáxia, sendo que já é sabido que existem centenas de bilhões de galáxias no Universo. O recém-descoberto Kepler-452b aumenta o número total de planetas descobertos pelo telescópio Kepler para 1.030.

Vida

Para o diretor da Nasa, há indícios de que o planeta tenha condições de habitar vida. "É inspirador considerar que este planeta gastou 6 bilhões de anos na zona habitável de sua estrela, mais do que a Terra. É uma oportunidade substancial para a vida surgir, devem existir todos os ingredientes e as condições de vida necessárias neste planeta.", disse.

A câmera do Kepler detecta planetas utilizando um sistema de busca por trânsitos, ou seja, o equipamento identifica quando uma estrela distante escurece ao ser obscurecida pela passagem de um planeta.

Quanto menor for o planeta, o brilho da estrela é menos escurecido. Para manter essa precisão, a sonda deve manter um localizador constante e estável.

Lançado em março de 2009, o satélite Kepler é a primeira missão da Nasa realizada com o intuito de detectar planetas do tamanho da Terra orbitando estrelas distantes próximas da zona habitável.

O telescópio, desde então, confirmou mais de mil planetas e mais de 3.000 candidatos a planetas que abrangem uma ampla gama de tamanhos e distâncias orbitais, incluindo aqueles na zona habitável.

Na missão K2, que começou oficialmente em maio de 2014, o telescópio já observou mais de 35 mil estrelas, além de obter dados sobre aglomerados, regiões densas de formação de estrelas, e vários objetos planetários recolhidos dentro do nosso próprio Sistema Solar.

Concepção artística do Kepler-452b visto do espaço (Crédito: Nasa)

                                         Tem como ir até lá?

O ALVO

O planeta Kepler-452b (similar à Terra a 1.400 anos-luz daqui), localizado na constelação de Cisne, tem diâmetro 60% maior que o da Terra, gira em torno de uma estrela praticamente igual ao Sol, está lá há bons 6 bilhões de anos e completa uma volta a cada 385 dias (dos terrestres, claro).

PERDAS…

Como o ano lá é um pouco mais longo, há quem já veja vantagem. Se aqui na Terra você tem 30 anos, por lá pode dizer que tem só 28. É um truque, evidente. O tempo de vida é o mesmo. Só muda a quantidade de giros em torno da estrela. Lá, como a volta é maior, você dá menos voltas.

…E GANHOS

Em compensação, o preço da falsa juventude vem na balança. Caso o Kepler-452b tenha a mesma densidade que a Terra (ainda não sabemos se é o caso), quem pesa 60 quilos aqui ficaria com 96 lá.

COMO CHEGAR

Usando as tecnologias atuais, melhor nem pensar em fazer as malas. A distância de 1.400 anos-luz equivale, em medidas do dia a dia, a uns 13,3 quatrilhões de km. Mesmo uma nave rápida, como a New Horizons, que passou por Plutão outro dia, levaria 30 milhões de anos na viagem.

DEVAGAR, DEVAGARINHO

Para piorar, a velocidade máxima permitida no Universo — a da luz — é bem mixuruca para vencer distâncias desse porte. E aí não dá nem para por a culpa no Haddad. A luz, viajando a 300 mil km/s, faz a travessia entre a Terra e Kepler-452b em 1.400 anos. Daí o “1.400 anos-luz”, sacou?

DÊ TEMPO AO TEMPO

Viagem com mais de um milênio não rola. Mas calma. Repita comigo: só Einstein salva. A mesma teoria que proíbe viajar mais rápido que a luz faz o tempo andar mais devagar quando você se aproxima do limite. Então, numa nave voando a 99,9% da velocidade da luz, poderíamos chegar a Kepler-452b em “só” 63 anos. Mas nem pense em voltar. Na Terra, 1.401 anos já teriam se passado.

Contido em: http://noticias.uol.com.br/ciencia/ultimas-noticias/redacao/2015/07/23/telescopio-da-nasa-descobre.htm, pesquisado em 23/07/20150as 17h00.e http://mensageirosideral.blogfolha.uol.com.br/2015/07/27/astronomia-jornada-a-kepler-452b/ pesquisado em 29/07/2015 as 10h00.

Plutão, é hora de conhecer seus vizinhos.

 

Plutão e alguns dos seus vizinhos, todos planetas anões do cinturão de Kuiper, em comparação com a Terra. O único que não é concepção artística é Plutão, claro; os outros ainda não conhecemos de perto. (Crédito: Nasa)

BAIRRO AFASTADO

Plutão é o membro mais ilustre de uma faixa de espaço além da órbita de Netuno, o cinturão de Kuiper. É basicamente um bairro na periferia do Sistema Solar, habitado por uns 100 mil objetos. Falaremos a seguir de seus cinco colegas mais intrigantes.

ÉRIS
Não por acaso, esse também é o nome da deusa grega da discórdia. Descoberto em 2005, Éris foi o responsável pelo rebaixamento de Plutão à categoria de planeta anão. Tem praticamente o mesmo tamanho, mas com mais massa, ou seja, ele deve ter outra composição.

MAKEMAKE
O nome vem de uma divindade adorada na Ilha de Páscoa. Com um diâmetro de cerca de 1.480 km, foi estudado com participação brasileira. Observando Makemake encobrir uma estrela, descobriram sua falta de atmosfera.

HAUMEA
Se há um planeta anão bizarro, é Haumea, nome de uma deusa havaiana. Apesar de seu tamanho (1.400 km), ele tem a forma de uma bola de futebol americano. Isso ocorre porque ele gira muito depressa (um dia lá dura 4 horas!) e, com isso, se estica.

QUAOAR
O nome é homenagem a um deus tongva, povo indígena da área de Los Angeles, nos EUA. Seu diâmetro é metade do de Plutão. E o que estranha é a presença de gelo de água na superfície. Como isso é possível? Ninguém sabe.

SEDNA
Batizado em homenagem à deusa inuíte do mar, é o planeta anão mais distante conhecido. Sedna completa uma órbita a cada 11,4 mil anos. Dizem as más línguas que é fruto de um roubo. O Sol o teria capturado de um sistema planetário vizinho que passou por perto há bilhões de anos.

Éris, Makemake, Haumea, Quaoar, Sedna… todos esses astros são tão interessantes quanto Plutão. Eles não fazem falta no seu horóscopo?

Contido em: http://mensageirosideral.blogfolha.uol.com.br/2015/07/20/astronomia-os-vizinhos-de-plutao/, pesquisado em 20/07/2015 as 11h00.

Trigonometria - Soma e Subtração de Arcos -

Seno da soma e da diferença de dois arcos a e b 

Cosseno da soma e da diferença de dois arcos a e b 

Tangente da soma e da diferença de dois arcos a e b 

Duplicação de Arcos 

Fazendo a = b nas fórmulas anteriores, teremos:

Arcos Metade 

Sabe-se que cos 2a = 2cos²a - 1 e cos 2a = 1 - 2sen² a; portanto se fizermos 2a = x, teremos:

TRIÂNGULOS QUAISQUER 

Lei dos Senos No triângulo ABC da figura, temos: 

Lei dos Cossenos 

No triângulo ABC abaixo, temos: 

Natureza de um Triângulo 

Seja a a maior medida do triângulo ABC. Então: 

Área de Triângulo Qualquer 

Dado um triângulo ABC qualquer, dois lados (conhecidos a e b) e o ângulo α entre eles, temos que:

Exercícios: 

 (UERJ) Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados a base B, conforme demonstra a figura abaixo: 

Se a ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a medida do ângulo CAD corresponde a: 

a) 60º 
b) 45º 
c) 30º 
d) 15º

(UNIFESP) Em um triângulo com lados de com-primentos a, b e c, tem-se (a + b + c).(a + b - c) = 3ab.

A medida do ângulo oposto ao lado de comprimento c é: 

a) 30º 
b) 45º 
c) 60º 
d) 90º 
e) 120º

Contido em: http://guiadoestudante.abril.com.br/estudar/matematica/soma-subtracao-arcos-trigonometria-677844.shtml, pesquisado em 19/07/2045 as 14h00.

Números - O que são os números?

Números nada mais são de que símbolos que representam as grandezas matemáticas que desejamos representar.

Resumidamente: Número é a indicação de quantidade.

Número é chamado também de dígito (dedo).

Por termos em geral 10 dedos nas mãos, temos o sistema decimal.

Em Matemática, os   números são classificados como naturais (1, 2, 3, ...), inteiros (...-2, -1, 0, 1, 2, ...), racionais (contêm os inteiros e as suas frações ou razões), reais (contêm os racionais e outros que não podem ser expressos através de uma fração, como por exemplo √2 ou π) e ainda, os números complexos (contêm os números reais e raízes negativas).

Um número é um conceito matemático para a representação de medida, ordem ou quantidade. Os números de ordem (primeiro, segundo, terceiro...) são designados por ordinais e os de quantidade (1, 2,3...) são designados por cardinais. Números de medida ou quantidade são expressos na base decimal pelos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, podendo ter uma parte inteira (antes da vírgula) e uma parte decimal (após a vírgula). Por exemplo o número 2,37 tem 2 como parte inteira e 0,37 como parte decimal.

O matemático e filósofo grego Pitágoras considerava os números como a essência e o princípio de todas as coisas.

A numerologia é uma pseudociência que tem por objetivo o estudo do significado oculto dos números. De acordo com os estudiosos, os números exercem influência no presente e no futuro das pessoas, alterando traços da personalidade e comportamento ao longo da vida.

Uma curiosidade sobre os números, é o fato de eles serem separados por grupos com características próprias.

Muitos matemáticos estudaram, e estudam características destes números, pois são importantes para o desenvolvimento e aplicação de conceitos matemáticos.
Vou dar alguns exemplos destes números que muitas vezes passam por meros coadjuvantes na matemática. 

Divisores próprios

Chamam-se divisores próprios de um número a todos os divisores diferentes do próprio número. Por exemplo, os divisores de 10 são: 1, 2, 5 e 10. Os divisores próprios de 10 são apenas o 1, o 2 e o 5.

Números perfeitos 

Um número perfeito é aquele cuja soma dos divisores próprios é igual a esse número. Por exemplo, o número 6 é um número perfeito. Repara que os divisores de 6 são: 1, 2, 3 e 6, sendo os divisores próprios o 1, o 3 e o 3. A sua soma é 1+2+3=6. Então, o 6 é um número perfeito.
Para além dos números perfeitos existem números deficientes e abundantes.

Os números deficientes são aqueles em que a soma dos seus divisores próprios é menor do que esse número. Por exemplo, os divisores próprios de 10 são o 1, o 2 e o 5. A sua soma é 1+2+5=8 < 10. Então, 10 é um número deficiente.
Os números abundantes são aqueles em que a soma dos seus divisores próprios é maior do que esse número. Por exemplo, o 18 é um número abundante. Os divisores próprios de 18 são: 1, 2, 3, 6 e 9. A sua soma é 1+2+3+6+9=21 > 18. Então, 18 é um número abundante.
A divisão dos números nestes três tipos (deficientes, perfeitos e abundantes) pode já apresentar aspectos curiosos e que vale a pena serem realçados: os mais numerosos são os deficientes e os mais raros são os perfeitos; 6 é o primeiro perfeito e 12 o menor abundante; existem 21 números abundantes menores que 100; apenas são conhecidos números perfeitos pares…

A busca dos números perfeitos iniciou-se na Antiga Grécia e existem provas de que os gregos conheciam os primeiros quatro números perfeitos: 6, 28, 496 e 8128. Até 1952, data em que se começaram a usar os computadores, tinham sido descobertos, além dos quatro conhecidos na Antiguidade, apenas mais 8 números perfeitos. O maior deles era 2126 x(2127 – 1), um número de uma ordem de grandeza enorme.

Euler demonstrou no século XVIII, que todos os perfeitos pares eram da forma. 

                                          2p+1 x(2p – 1), com p primo

Este segundo fator tem de ser também primo.

Os primos desta forma: (2p – 1) chamam-se números de Mersenne. Portanto, quando se descobre um número de Mersenne, descobre-se também um número perfeito. 

Vamos então ver o que são os NÚMEROS DE MERSENNE:

Os números de  Mersenne são os números da forma:

M_p = 2^p - 1, com "p" número primo.

Quando 2 ≤ n ≤ 5000 os números de Mersenne, primos, são chamados de primos de Mersenne.

São eles: para p = 2 temos 3, como primo de Mersenne

              para p = 3 temos 7, como primo de Mersenne

              para p = 5 temos 31, como primo de Mersenne

              para p = 7 temos 127, como primo de Mersenne  •   •   •

Com p = 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253 e 4423, obtemos os primos de Mersenne. Para p = 11, obtemos o número de Mersenne composto, 23 × 89. 

E o mais interessante é que eles estão ligados entre si. Por isso é importante entendermos certas características dos números, independente da importância dele para a matemática.

Matemática e a Musica

A matemática e a música têm funções muito diferentes na sociedade. No entanto, estão mais intimamente relacionadas do que geralmente se pensa. A música, com toda a sua paixão e emoção, também é baseada em relações matemáticas. Noções como a de oitava, acorde, escala ou tonalidade podem ser desmistificadas e compreendidas logicamente, usando a matemática.

A matemática também está relacionada com questões de estética musical. Por exemplo, um músico experiente consegue ouvir um trecho musical, observar a sua estrutura musical e acompanhá-la corretamente, mesmo sem conhecer ou ter ensaiado previamente a melodia, por ser capaz de reconhecer padrões e formas familiares. Este tipo de raciocínio assemelha-se muito ao que acontece quando se estuda matemática, onde a identificação de relações e padrões é parte essencial.

Uma das estruturas musicais que está intimamente relacionada com a matemática, é a noção de escala musical. Uma escala musical é uma sequência ordenada de tons pela frequência vibratória de sons, (normalmente do som de frequência mais baixa para o de frequência mais alta), que consiste na manutenção de determinados intervalos entre as suas notas. Vejamos então como a matemática está envolvida na construção desta estrutura musical.

Conceitos importantes

Antes de falar sobre as escalas propriamente ditas, é conveniente clarificar alguns conceitos, nomeadamente os conceitos de:

Som - onda (ou conjunto de ondas) que se propaga no ar com uma certa frequência; para as que se situam na faixa de 20 a 20.000 Hz, o ouvido humano é capaz de vibrar à mesma proporção, captando essa informação e produzindo sensações neurais, às quais o ser humano dá o nome de som.

Nota musical - termo empregue para designar o elemento mínimo de um som, formado por um único modo de vibração do ar. A cada nota corresponde uma duração e está associada uma frequência.

Intervalo - uma diferença de tom entre duas notas; denominam-se intervalos harmônicos se os dois tons soam simultaneamente e intervalos melódicos se eles soam sucessivamente.

Acorde - é a escrita ou execução de duas ou mais notas simultaneamente.

Vejamos agora algumas escalas importantes em termos musicais e a sua relação com a matemática.

Escala Pitagórica

Pitágoras desenvolveu a primeira escala musical com base matemática da história ocidental. Na Escola Pitagórica a Música era considerada como estando ao mesmo nível da Aritmética, Geometria e Astronomia. A Música era a ciência do som e da harmonia.

Os antigos gregos descobriram que, para uma nota de uma determinada frequência só as notas cujas frequências eram múltiplos inteiros da primeira poderiam ser convenientemente combinadas (consonantes). Se, por exemplo, a nota de frequência 220 Hz era tocada, as notas com maior consonância com a mesma seriam as de frequências 440 Hz, 660 Hz, 880 Hz, etc. e seriam percebidas como versões mais agudas ou graves da mesma nota. A razão mais importante entre frequências é, por isso, de 1:2, que no sistema de notação musical ocidental é chamado de um intervalo de oitava (por existirem 8 notas, ou tons inteiros, entre as duas frequências). Sempre que a razão entre frequências é de 1:2 estamos em presença de um intervalo de oitava. Outras razões permitem construir outros intervalos os de quinta (2:3), quarta (3:4), terceira maior (4:5) e terceira menor (5:6), todos importantes para a criação dos acordes.

A diferença entre uma quinta e uma quarta era definida como um tom inteiro, e resulta numa razão de 8:9.

A afinação de um instrumento pela escala pitagórica define todas as notas e intervalos de uma escala musical a partir de uma série de quintas com uma razão de 3:2. Assim sendo é, não só um sistema matematicamente elegante mas também um dos mais simples de afinar.

Partindo do intervalo de oitava dado pelas frequências genéricas f_o e 2f_o pode-se formar a escala pitagórica, desde que se mantenha os intervalos (ou seja as razões numéricas) entre as notas. As notas obtidas formam a chamada escala diatônica de sete notas que conhecemos vulgarmente por Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si. Se calcularmos os intervalos entre todas as alturas da escala diatônica teremos apenas dois valores: (9/8) e (256/243), chamados respectivamente de tom pitagórico diatônico e semitom pitagórico diatônico. Obtém-se assim uma escala com 7 notas diferentes como as da figura

Os estudos de razões “harmônicas” e proporções eram a essência da música durante a época dos pitagóricos. A partir da Idade Média, no entanto, com o desenvolvimento de música mais complexa, observou-se que, embora as razões fossem “perfeitas”, ocorriam problemas quando acordes particulares, diferentes tonalidades ou escalas com mais notas eram utilizadas.

O problema derivava da definição dos intervalos de terceira, quinta e oitava quando definidos por números inteiros. Ao adicionar vários intervalos de terceira e quinta sucessivamente a uma nota de base, nunca se consegue atingir novamente uma oitava da nota de base. Quer isto dizer que adicionar tons inteiros definidos pela razão 9:8 a uma nota de base de frequência f_o, nunca permite criar uma nova nota de frequência 2f_o, 3f_o, 4f_o ou semelhantes.

Surgiu assim a necessidade de um sistema de afinação alternativo e de outras definições de escala.

Escala Bem Temperada e Igualmente Temperada

Johann Sebastian Bach introduziu, no século XVIII o sistema do “bom temperamento”. O temperamento envolve o ajuste dos intervalos da escala pitagórica de tal forma que uma oitava era dividida em intervalos que permitiam tocar em qualquer tonalidade e eliminar o problema das notas nas oitavas não serem coincidentes. Inicialmente existiam vários métodos de afinação “bem temperada”. O que sobreviveu até aos nossos dias foi o sistema com uma escala de doze semitons igualmente distribuídos pela oitava (escala igualmente temperada). O pai de Galileo, um músico teórico, foi um dos primeiros a propor este sistema, no século XV, embora este só tenha sido adaptado como referência no século XIX.

Nesta escala, um tom inteiro já não é definido pela razão 9:8=1,125 mas por dois semitons (cada um expresso como) obtendo o valor numérico de. Assim sendo, se chamamos i ao intervalo entre cada semitom da escala temperada, um intervalo de quinta (7 semitons) é i⁷, um intervalo de quarta (5 semitons) é i⁵, um intervalo de segunda maior (2 semitons) é i², e assim por diante. O intervalo de oitava (12 semitons), dado por i¹², tem a relação de 2/1, que corresponde à oitava pitagórica.

Pode-se calcular qualquer outro intervalo da escala temperada usando-se a expressão i_n = 2 ^n/12, onde n é o número de semitons contido no intervalo. Por exemplo, para calcular a frequência de um Mi quinta acima (7 semitons) de um Lá de 440 Hz temos:

F_i = f_o * 2 ^n/12 = 440 * 2 ^7/12 = 440 * 1.498 = 659,25 Hz

Foram propostas e existem atualmente várias escalas temperadas. No entanto, a escala de doze semitons igualmente temperada é a única escala igualmente temperada que contém os sete intervalos consonantes com uma boa aproximação (cerca de 1% de variação em relação ao intervalo “puro”, ver tabela) e contém mais intervalos consonantes que dissonantes. Por isso, é provavelmente a melhor solução de compromisso de todas as escalas possíveis, sendo essa a razão pela qual é a escala de referência no mundo ocidental e a sua utilização é comum em todo o mundo.

Nota	Razão Intervalar da Escala Pitagórica	Razão Intervalar da Escala Igualmente Temperada	No de Semitons
Dó	1,000	1,000	0
Dó# Réb	1,054	1,059	1
Ré	1,125	1,122	2
Ré# Mib	1,185	1,189	3
Mi	1,266	1,260	4
Fá	1,333	1,335	5
Fá# Solb	1,405	1,414	6
Sol	1,500	1,498	7
Sol# Láb	1,580	1,587	8
Lá	1,688	1,682	9
Lá# Sib	1,778	1,782	10
Si	1,898	1,888	11
Dó	2,000	2,000	12

A principal questão das escalas e sistemas de afinação temperados é que embora o ouvido humano prefira os intervalos “puros” pitagóricos, uma escala temperada é necessária para a execução de música mais complexa com acordes e instrumentação variada. De um modo geral, os indivíduos preferem escalas musicais com muitos intervalos consonantes (que “soam bem”). Não existe uma lista definitiva de intervalos consonantes porque o conceito de consonância envolve um julgamento estético subjectivo. O que é facto é que os músicos atuais têm que se adaptar ás pequenas dissonâncias da escala temperada para afinar os seus instrumentos.

Quer isto dizer que vivemos agora num mundo de escalas igualmente temperadas? Não propriamente. Atualmente vivemos num mundo onde a música de Bach será tocada num instrumento bem temperado, a música medieval executada utilizando a escala pitagórica e Chopin num piano igualmente temperado. A tendência actual é para tentar reproduzir, sempre que possível, a sonoridade da época em que a composição musical foi escrita. Para tal o conhecimento e uso de uma afinação específica e das relações matemáticas entre as notas aqui abordadas é fundamental.

Contido em: http://www.matematicaviva.pt/2013/11/a-matematica-nas-escalas-musicais.html, pesquisado em 08/07/2015 as 19h00.