Diferença entre Permutação, Arranjo e Combinação

 

 As principais ferramentas da Análise Combinatória são a Permutação, o Arranjo e a Combinação, mas muitos estudantes se confundem na hora de decidir qual delas utilizar para resolver um problema específico. Aqui, vamos explicar as características de cada uma e quando devem ser utilizadas.

Uma permutação de n elementos distintos é um agrupamento ordenado desses elementos. Pode ser calculada pela fórmula P_n=n!. Ela deve ser utilizada quando você quiser contar quantas possibilidades existem de se organizar um número de objetos de forma distinta, por exemplo:

• O número de anagramas da palavra LIVRO é uma permutação de 5 elementos, calculada através de 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120, pois para a primeira posição você pode colocar 5 letras; para a segunda, restaram 4, para a terceira, 3 e assim por diante;
• O número de filas que podem ser formadas com 25 pessoas é 25!, pois para o primeiro lugar da fila temos 25 possibilidades, para o segundo 24 e assim por diante.

 

Um arranjo de n elementos dispostos p a p, com p menor ou igual a n, é uma escolha de p entre esses n objetos na qual a ordem importa. Sua fórmula é dada por

O exemplo mais clássico de arranjo é o pódio: em uma competição de 20 jogadores, quantas são as possibilidades de se formar um pódio com os três primeiros lugares? Note que, neste problema, queremos dispor 20 jogadores em 3 lugares, onde a ordem importa, afinal o pódio formado por João, por Marcos e por Pedro não é o mesmo formado por Pedro, por Marcos e por João. Outro exemplo é o número de possibilidades de se formar uma foto com n pessoas. Perceba que as permutações nada mais são do que casos particulares de arranjos onde n = p.

 

As Combinações de n elementos tomados p a p são escolhas não ordenadas desses elementos, calculadas por

Um exemplo classico é quando queremos formar uma comissão de 3 pessoas escolhidas entre 10 pessoas. Diferentemente do pódio do exemplo anterior, uma comissão formada por João, por Pedro e por Maria é a mesma comissão formada por Maria, por Pedro e por João.

 

Voltando então:

 

Arranjos: Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos elementos faz diferença.

Por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos {1,2 e 3} são:

312, 321, 132, 123, 213, 231

Esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 é diferente; É considerado arranjo simples, pois os elementos não se repetem.

Para que tenhamos arranjos simples é preciso ter um conjunto de elementos distintos com uma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados irão possuir n elementos, e essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto.

 

Permutação: O conceito de permutação expressa a ideia de que objetos distintos podem ser arranjados em inúmeras ordens distintas.

Assim seja um conjunto A com n elementos, chamamos de permutação a todo arranjo com n elementos retirados de A.

A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos, damos o nome de permutação simples.

Exemplos:

1) Seja A um conjunto com os elementos {a, b, c}.

As permutações possíveis de A são: {(a,b,c);(a,c,b);(b,a,c);(b,c,a);(c,a,b);(c,b,a)}. Total de 6 permutações.

2) Quantos anagramas possui a palavra OBA ?

As permutações da palavra são: {(OBA;(OAB);(BAO);(BOA);(ABO);(AOB)}. Total de 6 permutações.

Assim para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem.

O número de permutações de m elementos será expresso por : P(m)

A expressão para seu cálculo será dada por:

P(m) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...3.2.1

Podemos também escrever :    A(m,m) = P(m)

O Arranjo de m elementos dos quais m elementos participam é igual a Permutação destes elementos.

Uma forma simplificada de expressar a permutação de m elementos é através do fatorial: P(m) = m!

Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como o fatorial de m, onde m é um número natural.

O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:

(m+1)! = (m+1).m!     Ex: 3! = 3.2.1!   =>  que é a mesma coisa que : 3.2.1 = 6

Nota : Lembrando que : 0! = 1   (o fatorial de zero é igual a 1)   e que 1! = 1 ( o fatorial de 1 é igual a 1)

 

Combinação: Uma combinação sem repetição, em análise combinatória, indica quantas variedades de subconjuntos diferentes com n elementos existem em um conjunto U , com r elementos. Só é usada quando não há repetição de membros dentro do conjunto.

Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos.

Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão:

(fonte: Brasil Escola)

Fatorial: Na matemática, o fatorial (AO 1945: factorial) de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n.

A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808.(Wikipédia)

Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse número n (n!) o número:

n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1

Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n.

Veja alguns exemplos de cálculos de fatorial de um número :

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.628.800