Matriz e Determinante - Onde utilizamos?

A aplicação de matrizes pode ser observada em vários lugares...
Toda a mecânica quântica, por exemplo, pode ser formulada utilizando matrizes. Esta foi a forma que Heisenberg e Max Bohr a desenvolveram.

Quando Dirac estava desenvolvendo a mecânica quântica relativística e, ele chegou numa equação da seguinte forma: ab + ba = 0.

Utilizando números, essa equação não tem solução não trivial, mas Dirac teve a sacada de impor que a e b fossem matrizes, e assim ele desenvolveu toda uma nova teoria que o levou a prever teoricamente a existência das anti-partículas.
Na relatividade geral se trabalha muito com tensores e uma forma de representá-los são com matrizes.
Na mecânica clássica o momento de inércia de um corpo é um tensor e para ser calculado é necessário o uso de matrizes. Matrizes também são utilizadas em mecânica dos fluídos, para cálculos de deformação.
Enfim, em praticamente todas as áreas da física se utiliza matrizes.

Na física computacional. a computação é toda baseada nas matrizes.
Uma das muitas aplicações do cálculo matricial é a resolução de equações diferenciais. E quando falamos em equações diferenciais estamos falando de toda a teoria dos circuitos elétricos e eletrônicos.
É um campo tão vasto que vai desde a construção de redes de distribuição de energia até a microeletrônica. É possível escrever um compêndio do tamanho da enciclopédia britânica a respeito.
Além disto, a área de comunicações com fibras óticas também faz uso deste tipo de cálculo.
Existem inúmeras aplicações de cálculo matricial em Engenharia. Em especial na Engenharia Civil, mais especificamente em cálculo estrutural, utiliza-se para calcular esforços e deformações nas estruturas (principalmente hiper-estáticas).
Na Química o seu uso também é possível e é a mais difícil de ser vista, sendo que abaixo dou um exemplo prático de sua utilização:

Balanceamento de equações químicas

Uma equação química balanceada é uma equação algébrica que dá o número relativo de reagentes e produtos na reação e tem o mesmo número de átomos de cada tipo do lado esquerdo e direito. Mantêm reagentes à esquerda e produtos à direita. Tem-se que 2H2 + O2 + 2H2O é uma equação balanceada.
Duas moléculas de hidrogênio se combinam com uma molécula de oxigênio para formar duas moléculas de água. Ainda, 6H2 + 3O2 + 6H2O também é uma equação balanceada.
No caso abaixo, a combustão de amônia (NH3) em oxigênio produz nitrogênio (N2) e água. Uma nova aplicação de sistemas lineares se dá quando quer-se encontrar uma equação química balanceada para a reação seguinte:
                                                                                  wNH3 + xO2 + yN2 + zH2O:

Pode-se fazer a seguinte correspondência:

Nitrogênio:       w = 2y
Hidrogênio:    3w = 2z
Oxigênio:        2x = z 

E assim, o sistema linear está formado:
Neste caso, o sistema linear pode ser escrito na forma matricial A.x = B, onde a matriz A é a matriz dos coeficientes, ou seja:

         !  1  0  -2   0  !
A =  !  3  0   0  -2  !
         !  0  2   0  -1  !

e o vetor x é o vetor das incógnitas,

        ! w !
x =  ! x !
        ! y !
        ! z !

e o lado direito é dado por:

        ! 0 !
b =  ! 0 !
        ! 0 !, uma matriz nula.

Portanto: Matriz e Determinantes são conteúdos estudados dentro de matemática, mas abordados em vários outros ramos, como na informática, engenharia. O estudo dos determinantes depende do conhecimento prévio sobre matrizes.

De uma forma geral podemos dizer que matriz é um conjunto de elementos organizados em linhas e colunas. O número de linhas é representado por m e o número de colunas é representado por n, essas quantidades devem ser maiores ou iguais a um.

A quantidade de linhas de colunas e os elementos que pertencem à matriz são identificados através de uma fórmula.

Determinante é uma matriz quadrada representada de uma forma diferente, pois calculamos o seu valor numérico, o que não acontece com a matriz. Nela aplicamos as quatro operações, ou seja, somamos, multiplicamos, dividimos, subtraímos obtendo outra matriz.