Arranjo/Combinação/Permutação

Critérios para identificação de arranjo ou combinação

Os exercícios de análise combinatória podem ser resolvidos por arranjo ou combinação, mas como identificar qual dos dois agrupamentos o exercício está se referindo? Para isso é preciso que coloquemos em prática alguns critérios que ajudarão nessa identificação. 
Esses critérios são aplicados da seguinte forma: Em um problema de análise combinatória iremos encontrar vários agrupamentos, monte pelo menos um deles e modifique a ordem dos elementos desse agrupamento. 
Se depois da mudança tiver formado um agrupamento diferente, esse problema será de arranjo. 
Se depois da mudança tiver formado o mesmo agrupamento, esse problema será de combinação, ou seja, mesmo se os elementos em ordem diferentes continuar identificando o mesmo agrupamento. 
Veja como funciona a aplicação desse critério: 

Considere nove pontos diferentes de uma circunferência, conforme a figura. 



Quantas retas ficam determinadas por esses nove pontos? 

Pra descobrir se o exercício é de arranjo ou combinação é preciso que montemos pelo menos um dos agrupamentos (reta). 
Uma reta é formada por, no mínimo, 2 pontos e, como os pontos não são colineares podemos unir qualquer ponto, assim podemos dizer que (A,B) é um agrupamento, se trocarmos a ordem dos seus elementos (B,A) a reta (agrupamento) continua sendo a mesma, portanto, esse exercício será resolvido por combinação. 

Assim, aplicamos a fórmula da combinação, sendo que n = 9 e p = 2. 

C_9,2 = 9!____ 
          2! (9-2)! 

C_9,2 =  9 . 8 . 7!  
            2 . 1 . 7!           

C_9,2 = 72 
           2 

C9,2 = 36 

Serão formados com os 9 pontos da circunferências 36 retas.

As principais ferramentas da Análise Combinatória são a Permutação, o Arranjo e a Combinação, mas muitos estudantes se confundem na hora de decidir qual delas utilizar para resolver um problema específico. Aqui, vamos explicar as características de cada uma e quando devem ser utilizadas.

Uma permutação de n elementos distintos é um agrupamento ordenado desses elementos. Pode ser calculada pela fórmula Pn=n!. Ela deve ser utilizada quando você quiser contar quantas possibilidades existem de se organizar um número de objetos de forma distinta, por exemplo:

• O número de anagramas da palavra LIVRO é uma permutação de 5 elementos, calculada através de 5+ = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120, pois para a primeira posição você pode colocar 5 letras; para a segunda, restaram 4, para a terceira, 3 e assim por diante;
• O número de filas que podem ser formadas com 25 pessoas é 25!, pois para o primeiro lugar da fila temos 25 possibilidades, para o segundo 24 e assim por diante.

Um arranjo de n elementos dispostos p a p, com p menor ou igual a n, é uma escolha de p entre esses n objetos na qual a ordem importa. Sua fórmula é dada por: 

                                        A(n,p) = n! / (n-p)!

O exemplo mais clássico de arranjo é o pódio: em uma competição de 20 jogadores, quantas são as possibilidades de se formar um pódio com os três primeiros lugares? Note que, neste problema, queremos dispor 20 jogadores em 3 lugares, onde a ordem importa, afinal o pódio formado por João, por Marcos e por Pedro não é o mesmo formado por Pedro, por Marcos e por João. Outro exemplo é o número de possibilidades de se formar uma foto com n pessoas. Perceba que as permutações nada mais são do que casos particulares de arranjos onde n = p.

As Combinações de n elementos tomados p a p são escolhas não ordenadas desses elementos, calculadas por:                              

C(n,p) = n! / p! (n-p)!

Um exemplo clássico é quando queremos formar uma comissão de 3 pessoas escolhidas entre 10 pessoas. Diferentemente do pódio do exemplo anterior, uma comissão formada por João, por Pedro e por Maria é a mesma comissão formada por Maria, por Pedro e por João.

Por fim, fique com essa frase de impacto: 
“Uma escolha ordenada significa escolher e colocar em ordem”, 
ou, matematicamente: A = C . P

Contido em: http://www.mundoeducacao.com/matematica/criterios-para-identificacao-arranjo-ou-combinacao.htm, e http://www.andremachado.org/artigos/440/entenda-a-diferenca-entre-permutacao-arranjo-e-combinacao.html, pesquisado em 09/11/2014 as 13h00.

Probabilidade

Inicialmente para falarmos sobre probabilidade devemos definir o que é um evento aleatório.

• Evento aleatório  é aquele que pode ser re-executado várias vezes, sempre nas mesmas condições, e se obtém resultados diferentes, que estão previstos dentro dos possíveis resultados para este experimento, isto ocorre devido ao acaso, não podemos ter a absoluta certeza do resultado de cada um destes eventos.

Exemplos:

I) Lançar uma moeda para cima e observar a face que irá ficar virada para cima após a queda.
II) Escolhermos um aluno dentre os 30 alunos de uma classe.

• Agora iremos definir espaço amostral (Ώ) que é o conjunto de todos os eventos possíveis de um determinado evento aleatório.

Exemplos:

I) Lançar uma moeda para cima e observar a face que irá ficar virada para cima após a queda. O espaço amostral é Cara ou Coroa.
II) De uma urna com 10 bolas vermelhas (v) e 5 bolas brancas (b) retirarmos 2 bolas. O espaço amostral é v,v ou v.b ou b.v ou b,b.

Deve-se relatar que existem espaços amostrais infinitos que não serão tratados aqui.

• Evento (n): é um dos subconjunto de um espaço amostral, é escolhido um dos possíveis eventos dentro do espaço amostral.

Exemplo: Um dado é lançado, e é observada a face de cima.
O espaço amostral é { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

a- Ocorrência de um número par. Assim o evento é { 2, 4, 6}.
b- Ocorrência de um número primo. Assim o evento é { 2, 3, 5}.
c- Ocorrência de um número ímpar maior que 3. Assim o evento é {5}.
d- Ocorrência de um número primo maior que 5. Assim o evento é { }.

Conseqüência importante se definirmos o espaço amostral com n elementos, teremos sempre uma quantidade 2ⁿ de eventos possíveis, com a existência sempre do conjunto vazio { }.

Para definirmos probabilidade agora iremos utilizar os fatos descritos acima, assim sendo, probabilidade é o número associado à possibilidade de ocorrência de um determinado evento aleatório, escolhido, dentro dos de um espaço amostral.

, sendo sempre n e Ώ a quantidade de elementos do evento e do espaço amostral respectivamente.

Exemplo: Um dado é lançado, e é observada a face de cima.
O espaço amostral é { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

a- probabilidade de ocorrência de um número par.
Evento: { 2, 4, 6} , sendo n = 3 e Ώ = 6 temos que:

b- probabilidade de ocorrência de um número ímpar maior que 3.
Assim o evento é {5}, sendo n = 1 e Ώ = 6 temos que:

Contido em: http://www.infoescola.com/matematica/probabilidade/, pesquisado em 09/11/2014 as 12h00.

Conjuntos

Conjunto é um conceito primitivo desenvolvido pelo matemático George Cantor. A partir dele se desenvolveu diversos outros estudos matemáticos.

Elementos de um conjunto e suas representações        

Na Matemática existem alguns conceitos que não se definem. Eles constituem a base de todas as outras definições que são estudadas em Matemática. A exemplo disso, há a reta, o ponto e o plano. Você consegue definir um ponto? Um ponto não precisa de uma definição, mas a partir dele há todo o estudo da Geometria. Semelhantemente acontece com os “Conjuntos”, um conceito matemático primitivo que não apresenta definição.

Ao questionar qualquer criança a respeito do que é um conjunto, ela pode ter dúvidas para responder a essa pergunta, mas provavelmente não terá em mente um exemplo de conjunto. Por exemplo, um pote de doces pode caracterizar um conjunto de balas ou ainda uma banda pode ser descrita como um conjunto de músicos. Da mesma maneira, pode-se dizer que os números {0, 2, 4, 6, 8, 10…} formam um conjunto de números pares.

No final do século XIX, o matemático George Cantor (1845-1918) deu início ao estudo da Teoria dos Conjuntos. Um conjunto pode ser considerado bem definido quando é possível identificar os seus componentes. No exemplo anterior, poderíamos dizer que o número 20 faz parte do conjunto? Vamos analisar esse elemento: o número 20 é par? Sim, então o número 20 faz parte do conjunto dos números pares. Podemos simplificar a linguagem chamando o conjunto dos números pares de P. Então:

P = {conjunto dos números pares} ⇒ P= {0, 2, 4, 6, 8, 10...}

Podemos ainda afirmar que o número 20 pertence a esse conjunto da seguinte forma:

20 € P

Tente agora imaginar um conjunto formado apenas pelos múltiplos de 5, vamos chamá-lo de Q. Temos, então:

Q = {0, 5, 10, 15...}

Nesse caso, o 20 pertence ao conjunto Q? Ele é múltiplo de 5? Sim, pois 4*5=20, então 20 é múltiplo de 5 e, portanto, pertence a Q. Mas existem outros números que pertencem ao conjunto dos números pares e dos múltiplos de 5 simultaneamente. Podemos melhor representá-los através do Diagrama de Venn, como na imagem abaixo:

Na parte roxa estão representados os números que fazem parte apenas do conjunto P; na seção verde, há os que fazem parte apenas do conjunto Q; e, na parte laranja, estão os números que fazem parte tanto do conjunto P quanto do Q. Dizemos que os números 0, 10 e 20 pertencem à intersecção dos conjuntos P e Q, isto é,{0,10,20} € P ᴨ Q.

A concepção do conjunto numérico pode ser compreendida a partir da compreensão de um conjunto. Os conjuntos numéricos foram concebidos conforme surgiam mudanças na matemática.

  Os conjuntos são os dos números: naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexo.
Para desenvolver a matemática hoje estudada, inúmeras mudanças na organização de todos os conceitos matemáticos foram necessárias. A concepção dos conjuntos numéricos recebeu maior rigor em sua construção com Georg Cantor, que pesquisou a respeito do número infinito. Cantor iniciou diversos estudos sobre os conjuntos numéricos, constituindo, assim, a teoria dos conjuntos.

A construção de todos os conjuntos numéricos que hoje possuímos parte de números inteiros usados apenas para contar até os números complexos que possuem vasta aplicabilidade nas engenharias, nas produções químicas, entre outras áreas.

 Definir conjunto é algo tão primitivo que se torna uma tarefa difícil. Entretanto, compreendemos conjunto como uma coleção de objetos, números, enfim, elementos com características semelhantes.

Sendo assim, os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos dos números que possuem características semelhantes. Nesta seção, a concepção desses conjuntos será abordada, visando à compreensão dos elementos que constituem cada um dos conjuntos numéricos.

Temos então os seguintes conjuntos numéricos:

Conjunto dos números Naturais ();

Conjunto dos números Inteiros ();

Conjunto dos números Racionais ();

Conjunto dos números Irracionais ();

Conjunto dos números Reais ();

Conjunto dos números Complexos ()

Contido em: http://www.brasilescola.com/matematica/conjuntos-numericos.htm e http://www.brasilescola.com/matematica/conjunto.htm, pesquisado em 07/11/2014 as 14h00.

Matriz e Determinante - Onde utilizamos?

A aplicação de matrizes pode ser observada em vários lugares...
Toda a mecânica quântica, por exemplo, pode ser formulada utilizando matrizes. Esta foi a forma que Heisenberg e Max Bohr a desenvolveram.

Quando Dirac estava desenvolvendo a mecânica quântica relativística e, ele chegou numa equação da seguinte forma: ab + ba = 0.

Utilizando números, essa equação não tem solução não trivial, mas Dirac teve a sacada de impor que a e b fossem matrizes, e assim ele desenvolveu toda uma nova teoria que o levou a prever teoricamente a existência das anti-partículas.
Na relatividade geral se trabalha muito com tensores e uma forma de representá-los são com matrizes.
Na mecânica clássica o momento de inércia de um corpo é um tensor e para ser calculado é necessário o uso de matrizes. Matrizes também são utilizadas em mecânica dos fluídos, para cálculos de deformação.
Enfim, em praticamente todas as áreas da física se utiliza matrizes.

Na física computacional. a computação é toda baseada nas matrizes.
Uma das muitas aplicações do cálculo matricial é a resolução de equações diferenciais. E quando falamos em equações diferenciais estamos falando de toda a teoria dos circuitos elétricos e eletrônicos.
É um campo tão vasto que vai desde a construção de redes de distribuição de energia até a microeletrônica. É possível escrever um compêndio do tamanho da enciclopédia britânica a respeito.
Além disto, a área de comunicações com fibras óticas também faz uso deste tipo de cálculo.
Existem inúmeras aplicações de cálculo matricial em Engenharia. Em especial na Engenharia Civil, mais especificamente em cálculo estrutural, utiliza-se para calcular esforços e deformações nas estruturas (principalmente hiper-estáticas).
Na Química o seu uso também é possível e é a mais difícil de ser vista, sendo que abaixo dou um exemplo prático de sua utilização:

Balanceamento de equações químicas

Uma equação química balanceada é uma equação algébrica que dá o número relativo de reagentes e produtos na reação e tem o mesmo número de átomos de cada tipo do lado esquerdo e direito. Mantêm reagentes à esquerda e produtos à direita. Tem-se que 2H2 + O2 + 2H2O é uma equação balanceada.
Duas moléculas de hidrogênio se combinam com uma molécula de oxigênio para formar duas moléculas de água. Ainda, 6H2 + 3O2 + 6H2O também é uma equação balanceada.
No caso abaixo, a combustão de amônia (NH3) em oxigênio produz nitrogênio (N2) e água. Uma nova aplicação de sistemas lineares se dá quando quer-se encontrar uma equação química balanceada para a reação seguinte:
                                                                                  wNH3 + xO2 + yN2 + zH2O:

Pode-se fazer a seguinte correspondência:

Nitrogênio:       w = 2y
Hidrogênio:    3w = 2z
Oxigênio:        2x = z 

E assim, o sistema linear está formado:
Neste caso, o sistema linear pode ser escrito na forma matricial A.x = B, onde a matriz A é a matriz dos coeficientes, ou seja:

         !  1  0  -2   0  !
A =  !  3  0   0  -2  !
         !  0  2   0  -1  !

e o vetor x é o vetor das incógnitas,

        ! w !
x =  ! x !
        ! y !
        ! z !

e o lado direito é dado por:

        ! 0 !
b =  ! 0 !
        ! 0 !, uma matriz nula.

Portanto: Matriz e Determinantes são conteúdos estudados dentro de matemática, mas abordados em vários outros ramos, como na informática, engenharia. O estudo dos determinantes depende do conhecimento prévio sobre matrizes.

De uma forma geral podemos dizer que matriz é um conjunto de elementos organizados em linhas e colunas. O número de linhas é representado por m e o número de colunas é representado por n, essas quantidades devem ser maiores ou iguais a um.

A quantidade de linhas de colunas e os elementos que pertencem à matriz são identificados através de uma fórmula.

Determinante é uma matriz quadrada representada de uma forma diferente, pois calculamos o seu valor numérico, o que não acontece com a matriz. Nela aplicamos as quatro operações, ou seja, somamos, multiplicamos, dividimos, subtraímos obtendo outra matriz.

Matemática Financeira - Exercícios Resolvidos

Ex.01 – Calcule as porcentagens abaixo:

a)      10% de 200
b)      12% de 3010
c)       3% de 1230
d)      15% de 220
e)      50% de 8700
f)       36% de 940
g)      75% de 4450

Ex.02 – Um veículo custava R$ 36.000,00 e valorizou 8,5%. Qual o preço atual desse veículo?

Ex.03 – Um imóvel valorizou 27% nos últimos anos. Sabendo que antes da valorização o imóvel valia R$ 320.000,00, calcule o valor atual desse imóvel.

Ex.04 – Um Smartphone custava R$ 5.630,00 no dia do lançamento. Um tempo depois, o preço teve uma redução de 32%. Qual o preço atual desse Smartphone?

Ex.05 – Um investidor comprou ações de uma empresa a R$ 19,80. Com o baixo desempenho da empresa, o valor de suas ações teve redução de 15%. Qual o valor das ações?

Ex.06 – Um computador custava R$ 12.778,00. Após o lançamento de um modelo novo, o preço caiu para R$ 9.990,00. Qual foi a redução em porcentagem?

Ex.07 – Alberto pagou R$ 13.600,00 por um lote de ações. Alguns meses depois, devido a dificuldades financeiras, vendeu o lote de ações por R$ 10.200,00. Calcule a porcentagem de perda.

Ex.08 – Joaninha pegou R$ 3.800,00 emprestado com sua mãe, para pagar com juros simples de 0,95%a.m. Sabendo que foram 24 prestações mensais, calcule o valor dos juros pagos.

Ex.09 – Um empréstimo de R$75.900,00 será pago em 36 prestações, com juros simples 2,5%a.m.Calcule os juros pagos na quitação do empréstimo.

Ex.10 – Um comerciante foi ao banco e pegou um empréstimo de R$ 66.480,00 a taxa de juros compostos de 2,88%a.m. Sabendo que foram 48 prestações, calcule o valor dos juros pagos.

Ex.11 – Para iniciar um negócio, um empreendedor captou R$350.730,00 através de um empréstimo que deverá ser pago em 28 prestações mensais. A taxa de juros da operação é de 2,49%a.m. Calcule os juros compostos pagos no final do empréstimo.

Contido em: http://comocalcular.com.br/exercicios/matematica-financeira-exercicios-resolvidos, pesquisado em 05/11/2014 as 10h00.

Matemática Financeira

NOÇÕES BÁSICAS

Conceito: a MATEMÁTICA FINANCEIRA tem por objetivo estudar as diversas formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas para aplicação / obtenção de recursos financeiros.

Capital: é qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em determinada época. Referido montante de dinheiro também é denominado de capital inicial ou principal.

Juros:  é o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um valor em dinheiro durante um certo tempo; é o rendimento em dinheiro, proporcionado pela utilização de uma quantia monetária, por um certo período de tempo.

Taxa de Juros:  é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado.

Exemplo: Capital Inicial : $ 100

Juros : $ 150 - $ 100 = $ 50

Taxa de Juros: $ 50 / $ 100 = 0,5 ou 50 % ao período

a taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc) e pode ser apresentada na forma percentual ou unitária.

Taxa de Juros unitária: a taxa de juros expressa na forma unitária é quase que exclusivamente utilizada na aplicação de fórmulas de resolução de problemas de Matemática Financeira; para conseguirmos a taxa unitária ( 0.05 ) a partir da taxa percentual ( 5 % ), basta dividirmos a taxa percentual por 100: 5 % / 100 = 0.05 

Montante: denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos).

Capital Inicial = $ 100

+ Juros = $ 50

= Montante = $ 150

Regimes de Capitalização:  quando um capital é emprestado ou investido a uma certa taxa por período ou diversos períodos de tempo, o montante pode ser calculado de acordo com 2 regimes básicos de capitalização de juros: • capitalização simples; • capitalização composta;

Capitalização Simples:  somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ao longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de juros

Capitalização Composta: os juros produzidos ao final de um período são somados ao montante do início do período seguinte e essa soma passa a render juros no período seguinte e assim sucessivamente. Comparando-se os 2 regimes de capitalização, podemos ver que para o primeiro período considerado, o montante e os juros são iguais, tanto para o regime de capitalização simples quanto para o regime de capitalização composto; Salvo aviso em contrário, os juros devidos no fim de cada período (juros postecipados) a que se refere a taxa de juros. No regime de capitalização simples, o montante evolui como uma progressão aritmética, ou seja, linearmente, enquanto que no regime de capitalização composta o montante evolui como uma progressão geométrica, ou seja, exponencialmente.

Fluxo de Caixa: o fluxo de caixa de uma empresa, de uma aplicação financeira ou de um empréstimo consiste no conjunto de entradas (recebimentos) e saídas (pagamentos) de dinheiro ao longo de um determinado período.

Contido em: http://www.tudosobreconcursos.com/materiais/matematica-financeira/nocoes-basicas-de-matematica-financeira, pesquisado em 02/11/2014 as 12h00.

Juros compostos

Juros compostos são muito usados no comércio, como por exemplo, nos bancos. Os juros compostos  são utilizados na remuneração das cadernetas de poupança, pois oferecem uma melhor remuneração. Popularmente o juro composto  é conhecido como “juro sobre juro”.

Problema de juro composto
Fernando empresta o capital inicial de R$ 4000,00 (quatro mil reais) para Pedro cobrando juros compostos de 4% ao mês. Pedro prometeu pagar tudo após 5 meses. Qual será o valor que ele terá que pagar?
Para resolvermos esse problema de juros compostos podemos usar a seguinte fórmula:

M = C * (1 + i)^t

M = Montante
C = Capital Inicial
i = Taxa de juros
t = Tempo
Usando a fórmula para o problema de juro composto acima teremos:
M = ? (é o valor que queremos saber)
C = R$ 4000,00
i = 4% /100 = 0,04
t = 5
M = 4000 * (1 + 0,04)⁵
M= 4000 * (1,04)⁵
M= 4000 * 1,2165
M= 4866
Subtraindo o capital inicial do montante temos:
J = 4866 – 4000 = 866
Portanto, Pedro terá que devolver o valor de R$ 4866 (quatro mil, oitocentos e sessenta e seis reais) para Fernando. Sendo R$ 866 de juros.
Para efeito de comparação, vamos ver qual seria o valor a pagar se esses 4% fossem juros simples. O capital inicial e o tempo continua o mesmo.
J = C * i * t
J = 4000 * 0,04 * 5
J = 800
M = C + j
M = 4000 + 800
M = 4800
Se fosse juros simples o valor a ser pago seria de R$ 4800. A diferença entre o juro composto e o simples nesse caso foi de R$ 66.

Contido em: http://aprovadonovestibular.com/juros-compostos-como-calcular-juro-composto.html, pesquisado em 02/11/2014 as 11h00.

Juros simples

O regime de juros simples, é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Este sistema não é utilizado na prática nas operações comerciais, mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática Financeira, é de uma certa forma, importante.
Considere o capital inicial P aplicado a juros simples de taxa i por período, durante n períodos.
Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial, podemos escrever a seguinte fórmula, facilmente demonstrável:
J = P . i . n = Pin
J = juros produzidos depois de n períodos, do capital P aplicado a uma taxa de juros por período igual a i.
No final de n períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial adicionado aos juros produzidos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado MONTANTE (M). Logo, teríamos:
M = P + J = P + P.i.n = P(1 + i.n)
Portanto, M = P(1+in).

Exemplo:  A quantia de $3000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos.

Solução:

Temos: P = 3000, i = 5% = 5/100 = 0,05 e n = 5 anos = 5.12 = 60 meses.
Portanto, M = 3000(1 + 0,05x60) = 3000(1+3) = $12000,00.
A fórmula J = Pin, onde P e i são conhecidos, nos leva a concluir pela linearidade da função juros simples, senão vejamos:

Façamos P.i = k.
Teremos, J = k.n, onde k é uma constante positiva.
(Observe que P . i > 0)
Ora, J = k.n é uma função linear, cujo gráfico é uma semi-reta passando pela origem. (Porque usei o termo semi-reta ao invés de reta?).
Portanto, J/n = k, o que significa que os juros simples J e o número de períodos n, são grandezas diretamente proporcionais. Daí, infere-se que o crescimento dos juros simples obedece a uma função linear, cujo crescimento depende do produto P.i = k, que é o coeficiente angular da semi-reta J = kn.

Exercício proposto:
Calcule o montante ao final de dez anos de um capital $10000,00 aplicado à taxa de juros simples de 18% ao semestre (18% a.s).
Resposta: $46000,00
Como já sabemos, se o capital P for aplicado por n períodos, a uma taxa de juros simples i, ao final dos n períodos, teremos que os juros produzidos serão iguais a J = Pin e que o montante (capital inicial adicionado aos juros do período) será igual a M = P(1 + in).

O segredo para o bom uso destas fórmulas é lembrar sempre que a taxa de juros i e o período n têm de ser referidos à mesma unidade de tempo.

Assim, por exemplo se num problema, a taxa de juros for
i =12% ao ano = 12/100 = 0,12 e o período n = 36 meses, antes de usar as fórmulas deveremos coloca-las referidas à mesma unidade de tempo, ou seja:
a) 12% ao ano, aplicado durante 36/12 = 3 anos , ou
b) 1% ao mês = 12%/12, aplicado durante 36 meses, etc.

Exemplos:

E01 – Quais os juros produzidos pelo capital $12000,00 aplicados a uma taxa de juros simples de 10% ao bimestre durante 5 anos?
SOLUÇÃO:
Temos que expressar i e n em relação à mesma unidade de tempo.
Vamos inicialmente trabalhar com BIMESTRE (dois meses):
i = 10% a.b. = 10/100 = 0,10
n = 5 anos = 5.6 = 30 bimestres (pois um ano possui 6 bimestres)
Então: J = $12000.0,10.30 = $36000,00
Para confirmar, vamos refazer as contas, expressando o tempo em meses.
Teríamos:
i = 10% a.b. = 10/2 = 5% ao mês = 5/100 = 0,05
n = 5 anos = 5.12 = 60 meses
Então: J = $12000,00.0,05.60 = $36000,00
E02 – Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa mensal de 5%. Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?
SOLUÇÃO:
Temos: M = P(1 + in). Logo, o capital estará duplicado quando
M = 2P. Logo, vem:
2P = P(1 + 0,05n); (observe que i = 5% a.m. = 5/100 = 0,05).
Simplificando, fica:
2 = 1 + 0,05n Þ 1 = 0,05n, de onde conclui-se n = 20 meses ou 1 ano e oito meses.
Exercício proposto:
Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa anual de 10%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado?
Resp: 20 anos.

Contido em:  https://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/juros-simples.html, pesquisado em 02/11/2014 as 11h00.