Os Papiros da Matemática Egípcia (Rhind e Moscou)

Papiro de Rhind (ou Ahmes)

A Matemática foi inventada e desenvolvida pelo homem em função de suas necessidades sociais. Desde a pré-história, o homem já tinha ímpetos em realizar a contagem, vivendo apenas por meio da caça e da pesca, em que eram utilizados paus, pedras e fogo. Neste período, o homem já dominava noções de mais-menos, maior-menor, algumas formas de lascamento de pedras e confecção de porretes. Com a domesticação dos animais (a velha história do pastoreiro que contava seu rebanho com pedras) surgiu a ideia de correspondência biunívoca (um a um), em que há analogia com a função bijetora.

Os grandes progressos que marcaram o fim da pré-história e que originaram a escrita verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egito. Por meio do grande desenvolvimento na agricultura, artesanato, comércio, entre outros até a construção das famosas pirâmides, surge a necessidade de efetuar cálculos mais rápidos e precisos, conseqüentemente, a representação através de símbolos (desenhos, escrita, números). Por volta de 2600 a.C., o Egito transformou-se no grande exportador do papiro, uma espécie de papel (este teve sua descoberta na China em 105 d.C., findando o uso do papiro), inclusive com utilidade semelhante. O encontro dos papiros proporcionou um estudo inicial da cultura egípcia.

Quase tudo o que se sabe sobre a Matemática dos antigos egípcios, se baseia em dois grandes papiros: o Papiro de Rhind e o Papiro de Moscou.

Os Papiros da Matemática Egípcia: Quase tudo o que se sabe sobre a Matemática dos antigos egípcios, se baseia em dois grandes papiros: o Papiro de Rhind e o Papiro de Moscou. Estes são compostos por exposições de problemas e suas resoluções. Foram por meio desses papiros que os cientistas compreenderam o sistema de numeração egípcia. O tal sistema baseava-se em sete números chave: 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000 e 1.000.000. Esses números eram representados pelos seguintes símbolos:  

Um traço vertical representava 1 unidade:  

Um osso de calcanhar invertido representava o número 10:  

Um laço valia 100 unidades:  

Uma flor de lótus valia 1.000:  

Um dedo dobrado valia10.000:
Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades:
Uma figura ajoelhada, talvez  representando um deus, valia 1.000.000:       

 Segundo o site malhatlantica: “Uma vez que estes papiros são compostos por problemas e das suas resoluções, alguns dos quais elementares, supõe-se que eles tinham intenções puramente pedagógicas e que eram basicamente destinados ao ensino dos funcionários do estado, os escribas. A partir destes temos acesso apenas a uma matemática elementar. Não se sabe se os egípcios tinham, ou não, conhecimentos matemáticos mais avançados, no entanto os monumentos por eles construídos levam a pensar que na realidade os arquitetos eram possuidores de conhecimentos não revelados nos papiros.”

O Papiro de Rhind: Em 1855, o advogado e antiquário escocês Alexander Henry Rhind aos 22 anos, viajou por razões de saúde para o Egito em busca de um clima mais ameno, e lá começou a estudar objetos da Antiguidade. Em 1858, na cidade de Luxor, comprou um grande papiro que teria sido descoberto nas ruínas de um antigo edifício de Tebas. Rhind morreu cinco anos mais tarde (1863) e o seu papiro foi adquirido pelo British Museum, Museu Britânico de Londres. Por esse motivo o papiro leva seu nome.

Também é conhecido por Papiro de Ahmes, o escriba egípcio que o copiou.

Segundo o site educ.: “O escriba diz-no que o material deriva de um original do Reino Médio, escrito entre 2.000 e 1.800 a.C. (...), e é possível que algum do conhecimento tenha vindo do famoso arquiteto e físico Imhotepy que supervisionou a construção da pirâmide do Faraó Zozer há cerca de 5.000 anos.”

Segundo Carl Boyer: “Esse papiro faltava alguns fragmentos, e o egiptólogo americano Edwin Smith comprou no Egito o que pensou que fosse um papiro médico (...). A aquisição de Smith foi doada à Sociedade Histórica de Nova York (Museu do Brooklyn) em 1932, quando os especialistas descobriram ser a parte que faltava no Papiro de Ahmes.”

O papiro, datado a cerca de 1650 a.C., escrito em hierático, da direita para a esquerda, tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 0,32 m de largura, contém 84 problemas e suas resoluções. 

Segundo Howard Eves:  “O Papiro Rhind é uma fonte primária rica sobre a Matemática egípcia antiga; descreve os métodos de multiplicação e divisão dos egípcios, o uso que faziam das frações unitárias, seu emprego da regra de falsa posição, sua solução para o problema da determinação da área de um círculo e muitas aplicações da matemática a problemas práticos.”

 A primeira parte do papiro parece representar um manual do cálculo matemático de regras e questões organizadas para servirem de guia aos sacerdotes egípcios, cultores da especialidade. Eis uma lista dos problemas e algumas resoluções:

1 a 6:              Divisão de 1, 2, 6, 7, 8 e 9 pães por 10 homens.

          Multiplicação de diferentes fracções por 1 + 1/2 + 1/4 ou 1 + 2/3 + 1 /3

7 a 20 21-23:  Subtrações: 1 - (2/3 + 1/15), 1 - (2/3 + 1/30) e 2/3 - (1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45).

 

         Problemas de quantidades, envolvendo equações do 1º grau com uma

24 a 29            incógnita, resolvidas pelo método da falsa posição. 

        Problemas semelhantes aos anteriores, mas mais complicados

30 a 34           (envolvendo frações) e resolvidos pelo método da divisão.

        Problemas de hekat (medida de capacidade), envolvendo equações do

35 a 38           1º. grau com uma incógnita mas ainda mais complexas que as anteriores, resolvidos  pelo método da falsa posição.

39                                     Divisão de pães.

40                                     Divisão de pães envolvendo progressões aritméticas.

41   a 43          Volumes de contentores cilíndricos de cereais.

44 a 47           Volumes de contentores paralelepipédicos de cereais. 

47                                     Tabela das frações de 1 hékat, como frações do olho de Hórus.

48  a 53           Áreas de triângulos, retângulos, trapézios e círculos.

54 e 55           Divisão relacionada com área.

56 a 60           Problemas relacionados com pirâmides (sekeds, alturas e bases) 

61 e 61B        Tabela de uma regra para encontrar 2/3 de números ímpares e frações unitárias.

62                                     Problema de proporções, sobre metais preciosos e os seu peso.

63 e 65           Divisão proporcional de pães por um número de homens.

64                                     Problema envolvendo uma progressão aritmética.

66                                    Divisão de gordura.

67                                    Proporção de gado devido a imposto.

68                                   Divisão proporcional de cereais entre grupos de homens.

69   a 78         Problemas de pesos de pão e cerveja. Proporção inversa.

79                                   Progressão geométrica de razão 7.

80   e 81         Tabelas das frações do olho de Hórus.

     Problemas (pouco claros) sobre a quantidade de comida de vários 

82 a 84        animais domésticos, como gansos e outras aves. 

Segundo Gillings: “Problemas 24 a 38":Estes problemas envolvem equações do 1º grau com uma incógnita. Os problemas 24 a 29 são resolvidos pelo método da falsa posição, que consiste em partindo de um falso valor para a incógnita chegar ao valor correto. O resultado do valor incorreto é comparado com o resultado correto e através de proporções chega-se à resposta correta.  Os problemas 30 a 34 são semelhantes aos anteriores, mas mais complicados e são resolvidos pelo método da divisão. Os problemas 35 a 38 são problemas ainda mais complicados que os anteriores, mas envolvendo medidas de capacidade (héqat), são resolvidos pelo método da falsa posição.

Problemas 24 a 30 e final dos 21 a 31

                                                Problemas 34 a 38 e final do 33 dos 21 a 31

   

Problema 24: Uma quantidade, 1/7 desta adicionada a esta, fica: 19. Solução: 16 + ½ + 1/8 

Problema 25: A quantidade e a sua ½ adicionadas dão 16. Qual é a quantidade?   Solução: 10 + 2/3 

Problema 28: A quantidade e os seus 2/3 são adicionados, e da soma um terço da soma é subtraído, e ficam 10. Qual é a quantidade?   Solução: 9

Problema 31: A quantidade, os seus 2/3, a sua ½ e o seu 1/7, adicionadas, dão 33. Qual é a quantidade?

Solução: 14 + ¼ + 1/56 + 1/97 + 1/194 + 1/388 + 1/679 + 1/776 

Problema 32: A quantidade, a sua 1/3, e a sua 1/4 adicionadas dão 2. Qual é a quantidade? Solução: 1 + 1/6 + 1/12 + 1/144 + 1/228 

Problema 33: A quantidade, os seus 2/3, a sua  ½, e a sua 1/7 adicionadas dão 37. Qual é a quantidade? 

Solução: 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776 

Problemas 40, 64 e 79: O problema 40 é sobre a divisão de pães e o problema 64 sobre a divisão de cevada, ambos envolvem progressões aritméticas. As tabelas apresentadas em 79 envolvem a progressão geométrica de razão 7.

Problemas 39 e 40 e final dos 34, 36, 37 e 38

Problema 40: 100 pães para 5 homens. 1/7 dos 3 homens acima, para os 2 homens abaixo. Qual é a diferença das porções recebidas?

Problema 64: Exemplo de distribuições diferentes. Se te digo, divide 10 héqats de cevada por 10 homens, de tal maneira que a diferença entre cada homem e o seu vizinho seja em héqats de cereal, 1/8, qual é a parte que cabe a cada homem?  

Problema 79: Inventário de uma casa 

                                               Coluna 1                                           Coluna 2  

1		2801	Casas	7
2		5602	Gatos	49
3		11204	Ratos	343
Total		19607	Trigo	2301
			Héqat	16807

                                                                                  Total                                 19607

Problema 48: Compara a área do círculo e do quadrado circunscrito. 

Solução: O círculo de diâmetro 9: 64 setat, o quadrado de lado 9: 81 setat

Problemas 69 a 78: Estes problemas dizem, todos, respeito a questões sobre o peso. O peso é a razão entre o número de pães confeccionados ou o número de jarros de cerveja produzidos e o número de héqats de cereal utilizado na sua produção. Os egípcios ao produzirem cerveja utilizavam mais cereal do que ao produzirem pão, assim a mesma quantidade de cereja produzia mais pães do que jarros de cerveja. Os valores de peso de cerveja variavam entre 1 e 4 (de acordo com os problemas constantes dos papiros de Rhind e de Moscou) enquanto que os do pão variavam entre 5 e 45.    

Problemas 71 a 79 e final dos 65 e 67 a70

Problema 69: 3 ½ héqats de farinha são transformados em 80 pães. Descubra a quantidade de farinha em cada pão e o peso. 

Solução: 14 ro em cada pão e o peso é 22 + 2/3 + 1/7 + 1/21

Nota: Há 320 ro em cada héqat. 

Problema 71: De uma jarra de cerveja se tira ¼ do conteúdo e se troca por água. 

Determinar o novo peso da cerveja, supondo que a cerveja inicial era o produto de meio héqat de cereal. 

Solução: 2 + 2/3 

Problema 72

100 pães de peso 10 devem ser trocados por pães de peso 45. Quantos pães deste tipo haverá?  Solução: 450.

Problema 73: 100 pães de peso 10 devem ser trocados por pães de peso 15. Quantos pães destes tipo é que haverá?  Solução: 150.

Problema 74: 1000 pães de peso 5 devem ser trocados por um número de pães de peso 20 e pelo mesmo número de pães de peso 30.  pães de peso 15. Quantos pães de cada tipo é que haverá?  Solução: 1200.

Problema 75: 155 pães de peso 20 devem ser trocados por um número de pães de peso 30. Quantos pães deste tipo é que haverá?  Solução: 232 + ½” 

Papiro de Moscou

Após falarmos um pouco sobre o Papiro de Rhind ou Ahmes, agora vamos a outro papiro egípcio que também foi muito importante para o estudo sobre a História da Matemática: O Papiro de Moscou. 

O Papiro de Moscou, também chamado de Papiro de Golenischev em homenagem ao egiptólogo e colecionador russo Abraão V.S. Golenischev, que o comprou no Egito em 1893. Foi comprado em 1917 pelo Museu de Belas Artes de Moscou, aí passou a ser conhecido como Papiro de Moscou. O papiro foi escrito por um escriba desconhecido, tem cerca de 5 m de comprimento e 0,08 m de largura e contém 25 problemas, mas devido ao seu estado de degradação é impossível interpretar muito deles. Neste papiro é apresentada uma forma de cálculo do volume do tronco de pirâmide de base quadrada. Eis uma lista dos problemas e algumas resoluções:

1 a 2                       Ilegíveis.

3                                             Altura de um poste de madeira (pouco claro)

4                                            Área de um triângulo

5, 8,  9, 13 e 22    Pesos de pães e cerveja

6                                           Área de um retângulo.

7 e 17                   Área de um triângulo

10                                       Área de uma superfície curva 

11                                       Pães e cestos (pouco claro)

12                                       Pesos de cerveja (pouco claro)                                              

14                        Volume de uma pirâmide truncada

15 e 16                Pesos de cerveja.

18                        Medidas de panos em palmos e cúbitos(pouco claro) 

19                        Equação linear.

20                                       Pesos de 1000 pães e frações de Hórus. 

21                                       Mistura de pão para sacrifício

23                                      Cálculo do trabalho de um sapateiro (pouco claro)

24                                      Intercâmbios de pães e cerveja

25                                      Problema que dá origem à equação 2x + x = 9

             Segundo Gillins: “Problemas 4, 6, 10 e 14". Estes problemas envolvem áreas e volumes. Os problemas 4 e 6 são sobre a área de um triângulo e de um retângulo, respectivamente. O problema 10 envolve a área de superfície do que parece ser um cesto de diâmetro 4,5. No problema 14 pede-se para calcular a área de uma figura. A figura parece ser um trapézio isósceles, no entanto é na realidade um tronco de pirâmide quadrangular. 

      Problema 4: Descobre a área de um triângulo de altura 10 e base 4.

Problema 6 : Método do cálculo do retângulo. Se é dito, um retângulo de área 12, largura ½ + ¼ do comprimento.

Resolução: 

Calcula ½ + ¼ até obter 1. Resultado 1 + 1/3.

Calcula 1 + 1/3 de 12. Resultado 16. 

Calcula então o seu ângulo [raiz quadrada]. Resultado 4 para o comprimento e 3 para a largura. 

Problema 10: Exemplo do cálculo de um cesto. É dito que um cesto com uma abertura de 4 + ½ [de diâmetro. Qual a sua superfície? 

Resolução: 

Calcula 1/9 de 9, porque o cesto é metade de um ovo. Resultado 1.

Toma o que sobra que é 8. Calcula 1/9 de 8. Resultado 2/3 + 1/6 + 1/18. Calcula o que resta destes 8 depois de tirares 2/3 + 1/6 + 1/8: Resultado 7 + 1/9.

Multiplica 7 + 1/9 por 4 + 1/2: Resultado 32.

     Problema 14 : Método de calcular um tronco de pirâmide. Se é dito, um tronco de pirâmide tem 6 cúbitos de altura, 4 cúbitos de base, por 2 cúbitos no topo.

Resolução: 

Calcula com este 4, quadrando. Resultado 16.

Dobra este 4. Resultado 8.

Calcula com o este  2, quadrando. Resultado 4.

Adiciona este 16 com este 8 e com este 4. Resultado 28.

Calcula 1/3 de 6. Resultado 2.

Calcula o dobro de 28. Resultado 56.
É 56. Encontraste o resultado certo.

         Problema 19 e 21: O problema 19 envolve a seguinte equação do 1º grau, escrita na notação atual, 1½ x + 4 = 10. O problema 21 é sobre uma mistura de pão para sacrifício.

     Problema 19: Método de calcular uma pilha. 1 + 1/2 vezes junto com 4, deu 10.

Qual é esta pilha? 

Resolução: 

Calcula o excesso destes 10 sobre estes 4, é 6.

Calcula com 1+ ½ até obteres 1.

Resultado 2/3.

Calcula 2/3 destes 6.

Resultado 4.

          Problema 21: Método de calcular a mistura dos pães para sacrifícios.

Se te dizem 20 medidas como 1/8 de um heqát e 40 medidas como 16 heqát.

Resolução: 

Calcula 1/8 de 20. Resultado 2 + ½.

Calcula 1/16 de 40. Resultado 2 + ½.

O total de estas duas metades é 5.

Calcula a soma das outras duas metades. Resultado 60.

Divide 5 por 60. 

Resultado 1/12.  

A mistura é 1/12.