Matemáticos de Mogi

 Razão e proporção

RAZÃO: O conceito de razão é a forma mais comum e prática de fazer a comparação relativa entre duas grandezas. Ao dividir uma grandeza por outra, estamos comparando a primeira com a segunda, que passa a ser a base da comparação. Por exemplo, se a área de um retângulo mede 300 cm² e a área de um outro retângulo mede 210 cm², ao fazermos a razão das áreas, temos:

210/300 = 21/30 = 0,7

Estamos calculando o quanto a área menor representa da maior. Em outras palavras, a área menor representa 0,7, ou 70%, da área maior. Isso é uma comparação muito significativa e fácil de ser feita.

RAZÃO. Dados dois números reais a e b, com b diferente de zero, chamamos de razão entre a e b ao quociente 

Observe que k é um número real. O numerador a chamamos de antecedente, e o denominador b chamamos de consequente dessa razão (lê-se “a está para b”). A razão k indica o valor do número a quando comparado ao número b, tomando-o como unidade.

Exemplo: Uma escola tem 1200 m² de área construída e 3000 m² de área livre. A razão da área construída para a área livre é:

A) 6/5
B) 3/5              
C) 4/5
D) 1/10            
E) 2/5

Solução: razão = área construídaárea livre=12003000=25(letra E)

Isso significa que a área construída representa  25=0,4,ou 40%, da área livre.

APLICAÇÕES DO CONCEITO DE RAZÃO

Escala. Ao compararmos mapas com os lugares a serem representados por eles, representamos as distâncias em escala menor que a real. O conceito é dado pela seguinte razão:

Escala = medida no mapamedida real  ; (ambos na mesma unidade de medida).

Exemplo: a escala da planta de um terreno na qual o comprimento de 60 metros foi representado por um segmento de 3 cm é:

A) 1 : 10.000
B) 1 : 2.000
C) 1 : 3.000
D) 1 : 6.000     
E) 1 : 4.000

Solução

Primeiramente, transformamos os 60 m para centímetros, para trabalharmos no mesmo sistema de unidades:
60 m=60⋅100 cm=6000 cm60 m=60⋅100 cm=6000 cm

Portanto,
Escala = 3cm6000cm=12000=1:20003cm6000cm=12000=1:2000 (letra B)

Velocidade Média. É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. A velocidade média será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades escolhidas para calcular distância e tempo. Alguns exemplos de unidades para a velocidade média são km/h, m/s, cm/s etc.

Velocidade média = distância percorridatempo total de percurso

Exemplo: A distância entre as cidades do Rio de Janeiro e São Paulo é de, aproximadamente, 400 km. Um carro levou 5 horas para percorrer esse trajeto. Determine sua a velocidade média.

Solução

Velocidade = distância percorridatempo total de percurso=400km5hdistância percorridatempo total de percurso=400km5h = 80 km/h
O significado desse valor é que a cada hora o carro percorreu, aproximadamente, 80 km.

Densidade. A densidade de um corpo é a razão entre a sua massa e o seu volume. A densidade também será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades escolhidas para medir a massa e o volume. Alguns exemplos de unidades para a densidades são g/cm³, kg/m³ etc.

Densidade = massavolume=mvmassavolume=mv

Exemplo: Uma quantidade de óleo de cozinha ocupava completamente uma jarra com 1 litro de volume. Sabe-se que a densidade do óleo é de, aproximadamente, 0,86 g/cm³.  Determine a massa do óleo, em gramas.

Solução
Como a densidade é dada em g/cm³, isso significa que o volume deve ser dado em cm³. Assim, fazendo a conversão, 1l = 1 dm³ = 1000 cm³.

Daí, densidade = massavolume⇒0,86=m1000⇒m=0,86⋅1000 = 860 g 

Portanto, a massa de óleo contida na jarra é de 860 g.

PROPORÇÃO

Chamamos de proporção a igualdade de duas razões.

a1b1=a2b2=k (também escrito por a1:b1 :: a2:b2),

onde a1, a2, b1, b2 são números reais com b1 e b2 diferentes de zero. O número k é o que chamamos de constante da proporção (Lê-se “a1 está para b1 assim como a2 está para b2).

O antecedente da primeira razão (a1) e o consequente da segunda (b2) são chamados de extremos, enquanto o consequente da primeira razão (b1) e o antecedente da segunda razão (a2) são chamados de meios. Os nomes são sugestivos quando consideramos a segunda forma de expressar a proporção (a1:b1 :: a2:b2)


Propriedade fundamental da proporção

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. O que denotamos por:
ab=cd⟺bc=ad

Pela comutatividade do produto, podemos escrever a mesma proporção de várias maneiras distintas:
ab=cd⟺dc=ba⟺db=ca⟺ac=bd , entre outras.

(Enem 2012) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).

Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica?

a) 24 litros        b) 36 litros        c) 40 litros        d) 42 litros       e) 50 litros

Solução
Chamemos de x o número de litros de água despejados pela bacia ecológica. Daí,
1560=6x→15x=360→x=24litros

Assim, a economia será de: 60−24=36litros
Resposta: letra B

Contido em: http://educacao.globo.com/matematica/assunto/matematica-basica/razao-e-proporcao.html, pesquisado em 24/11/2020 - 12h00