Radianos

A medida de um ângulo é dada em graus e representada por um número seguido do símbolo “°”. Ela também pode ser relacionada a outros tipos de medidas, por exemplo a números reais e a radianos. Um ângulo é relacionado a um número real por meio das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente no ciclo trigonométrico.

Veja também: Quais são os três erros mais cometidos nos exercícios de trigonometria

Um ângulo é relacionado a radianos por meio do comprimento de arcos de circunferências. Por isso essa relação também pode ser feita no ciclo trigonométrico.

Definição de radiano

Dada uma circunferência de raio r e considerando um de seus arcos, cujo comprimento também é igual a r, dizemos que esse arco tem o comprimento igual a 1 rad (radiano).

Em outras palavras, 1 radiano é igual a um arco de medida r de uma circunferência cujo raio mede r. Sabendo que todo arco está relacionado a um ângulo central, as medidas em radianos também estarão.

A imagem a seguir mostra um círculo e o arco que possui medida igual a 1 rad.

Exemplo: Um círculo possui raio igual a 10 centímetros. Qual a medida, em radianos, do arco cujo comprimento é igual a 15 centímetros?

Para resolver esse problema, basta lembrar que 1 radiano é igual ao raio da circunferência. Nesse caso, o arco que possui 10 centímetros mede 1 radiano. Quanto medirá, nesse mesmo círculo, um raio que possui 15 centímetros? Para resolver esse problema, utilize regra de três:

 1  = 10
 x     15

10x = 15

x = 15
      10

x = 1,5 rad

Radianos em função de pi

É sempre possível relacionar um ângulo central a uma medida de um arco. Assim, sempre dá para associar um ângulo central a uma medida em radianos. Com o objetivo de relacionar o ângulo de 180°, por exemplo, a uma medida em radianos, usamos regra de três. Para tanto, lembre-se de que 180° é igual à meia circunferência, por isso seu comprimento é πr.

 1  =   r   
x      πr

xr = πr

x = π

Ou seja: 180° = π rad.

As medidas dos outros ângulos, dadas em radianos, podem ser todas obtidas a partir dessa relação, usando regra de três.

Com base nesse conhecimento, podemos concluir que existem π radianos em um semicírculo de 180°. Portanto, a medida do ângulo central relativo a 1 radiano é, para todo círculo ou circunferência, aproximadamente:

1 rad = 180° = 57,2958
π     

Ângulos

Ângulo é a medida da abertura entre duas semirretas que possuem a mesma origem.

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Ângulos de 20 graus a 170 graus

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O ângulo é a medida da abertura entre dois segmentos de reta. Desse modo, existe um número que está relacionado com cada abertura entre duas semirretas e, quanto maior a abertura, maior esse número.

Definição formal

Ângulo é uma medida expressa em graus que é atribuível à região ou conjunto de pontos situados entre duas semirretas de mesma origem.

Geralmente os ângulos são representados por letras maiúsculas com acento circunflexo, por letras minúsculas ou, no caso da figura acima, da seguinte maneira: BÂC.

Medindo ângulos

As medidas atribuídas aos ângulos funcionam de forma diferente daquelas utilizadas para medir distâncias. Os ângulos têm o círculo como base. Ao aumentar um ângulo, uma das semirretas se deslocará, como se estivesse sobre um círculo em que o ponto de encontro delas é o centro. Por isso, não é possível utilizar uma régua para obter medidas de ângulos.

O equipamento utilizado para tomar medidas de ângulos é conhecido como transferidor e está ilustrado na figura abaixo:

Para utilizá-lo, coloque uma das semirretas sobre a primeira linha do transferidor, aquela que aponta para o zero. Depois, coloque o ponto de encontro das semirretas no centro do equipamento, que geralmente vem marcado nele. Feito isso, o ângulo a ser medido será o número para onde a segunda semirreta aponta.

Os ângulos notáveis

Alguns ângulos são mais observados pelo homem na natureza. Foram eles que deram origem à escolha específica dos números utilizados para medir os ângulos. Ao ângulo conhecido como raso, por exemplo, que é definido quando uma semirreta é mantida fixa e a outra descreve um movimento de meia volta, foi atribuído o valor 180°.

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Ângulo formado por meia-volta: ângulo de 180°

Uma propriedade interessante do ângulo raso é que as semirretas que o formam, ao serem ligadas, podem ser vistas como uma única reta, ou seja, dado um ponto em uma reta, o ângulo formado nesse ponto é 180°.

Acredita-se que esses valores foram escolhidos em uma época onde os homens acreditavam que o ano possuía 360 dias. Cada dia foi considerado como uma unidade de medida do ângulo descrito pela Terra ao redor do sol e, por isso, uma volta inteira seria 360°.

Outro ângulo importante é conhecido como ângulo reto e sua medida é igual a 90°. Esse ângulo é muito encontrado na construção civil, nas “quinas” formadas por duas paredes. Sua importância é tão grande que existe uma ferramenta criada exclusivamente para ajudar a construir esse tipo de “quina” e para medir esse ângulo: o Esquadro.

Os outros ângulos notáveis são estudados na Trigonometria e suas medidas são: 30°, 45° e 60°.

Ângulos notáveis estudados na Trigonometria

Classificação de triângulos

 
triângulos na construção da base de um telhado

O triângulo é considerado uma importante figura no ramo da Geometria, pois através dele podemos estabelecer várias relações fundamentais, como exemplo temos uma relação muito importante utilizada na Geometria e na Trigonometria, que é o Teorema de Pitágoras. 
Podemos definir o triângulo como um polígono formado por três segmentos de retas que se cruzam duas a duas, formando três vértices, três ângulos e três lados. 
Os triângulos se classificam quanto ao tamanho da medida dos seus lados e quanto à medida de seus ângulos.

Classificação de um triângulo quanto à medida de seus lados. 

Triângulo equilátero: possui os três lados com medidas iguais. 
Triângulo isósceles: possui dois lados com medidas iguais. 
Triângulo escaleno: possui os três lados com medidas diferentes. 



Classificação de um triângulo quanto à medida de seus ângulos 

Triângulo acutângulo: possui todos os ângulos com medidas menores que 90º. 
Triângulo retângulo: possui um ângulo com medida igual a 90º. 
Triângulo obtusângulo: possui um ângulo obtuso, maior que 90º. 


       acutângulo                                               retângulo                                                         obtusângulo