Funções modulares (2)

Variações da função e estudos de gráficos

Sabe-se que

$$\left|x\right|=\{\begin{array}{c}x\text{,}\text{se}x\ge 0\\ -x\text{,}\text{se}x<0\end{array}$$

Portanto, a função modular mais simples é a função

$$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=\left|x\right|$$

.
Duas variações dessa função são mais conhecidas:

$$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=|x+a|$$ e $$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=\left|x\right|+a$$

No primeiro caso, o parâmetro a provoca um deslocamento (uma translação) horizontal de +a unidades, caso a seja negativo e, no caso de a ser positivo, uma translação de -a unidades.

No segundo caso, o parâmetro a provoca um deslocamento (uma translação) vertical de +a unidades, caso a seja positivo e, no caso de a ser negativo, uma translação de -a unidades.

Vamos agora estudar mais variações dessa função, construindo os gráficos das funções:

1)

$$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=\left|x\right|$$

2)

$$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=\left|2x\right|$$

3)

$$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=\left|3x\right|$$

4)

$$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=\left|\frac{1}{2}x\right|$$

5)

$$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=|-2x|$$

6)

$$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=2\left|x\right|$$

7)

$$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=-2\left|x\right|$$

Em funções da forma

$$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=\left|ax\right|$$

:

• caso
  $$\left|a\right|>1$$
  , a função "fecha", a exemplo do que aconteceu nos exemplos 2, 3 e 5;
• caso
  $$0<\left|a\right|<1$$
  , a função "abre", a exemplo do que aconteceu no exemplo 4.
  
  Em funções da forma
  $$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=a\left|x\right|$$
  :
• caso 
  $$a>1$$
  , função "fecha", a exemplo do que aconteceu nos exemplos 6;
• caso
  $$a<0$$
  , a função sofre simetria em relação ao eixo das abscissas, ou seja, ela é refletida com relação ao eixo horizontal, como no exemplo 7;

já no caso de

$$0<a<1$$

, a função "abre", coincidindo com funções como a do exemplo 4.

Reunindo agora tudo que sabemos, vamos aos exemplos:

1) Construir o gráfico da função

$$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=2|x+1|$$

.

• 

Assim, o gráfico da função representa uma translação de -1 unidade na horizontal do gráfico de

$$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=\left|x\right|$$

e, posteriormente, o mesmo "fecha" (de forma que cada ponto tenha o dobro da distância em relação ao eixo x), em virtude de ter sido multiplicado por 2.

2) Construir o gráfico da função

$$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=3|x+2|-1$$

.

• 

Aqui, a função

$$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=\left|x\right|$$

sofreu uma translação horizontal de -2 unidades e, posteriormente, "fechou" (de forma que cada ponto passe a ter o triplo da distância do eixo x). Por fim, sofreu translação vertical de -1 unidade (desceu).

Funções modulares

Construindo o gráfico da função

Já sabemos que:

A função modular mais simples é a função f(x) = │x│.

Assim,


ou seja, a função é uma reta decrescente (a bissetriz dos quadrantes pares) até x = 0 e uma reta crescente (a bissetriz dos quadrantes ímpares) após esse ponto.

E o gráfico dessa função é:


Exemplos:

1) Construir o gráfico da função .


ou seja,


Assim, a função é a reta y = -x + 2, antes do ponto x = 2, e a reta y = x - 2, após esse ponto.

E o gráfico:


Compare esse gráfico com o anterior. Para tanto, vamos traçar os dois no mesmo plano:


O segundo gráfico representa um deslocamento do primeiro, na horizontal, de duas unidades para a direita, ou seja, um deslocamento de +2 unidades.

2) Construir o gráfico da função .


ou seja,


Assim, a função é a reta y = -x - 3, antes do ponto x = -3, e a reta y = x + 3, após esse ponto.

E o gráfico:


Compare esse gráfico com o anterior. Vamos, novamente, traçar os dois no mesmo plano:


O segundo gráfico representa um deslocamento do primeiro, na horizontal, de três unidades para a esquerda, ou seja, um deslocamento de -3 unidades.

Podemos concluir que um gráfico da forma  representa um deslocamento na horizontal de +a unidades (se a for negativo) e de -a unidades (se a for positivo), em relação ao gráfico da função .

3) Construir o gráfico da função .
ou seja,


Assim, a função é a reta y = x + 1, antes do ponto x = 0, e a reta y = -x + 1, após esse ponto.

E o gráfico:


Vamos traçar os gráficos de  e no mesmo plano:


O segundo gráfico representa um deslocamento do primeiro, na vertical, de +1 unidade.

4) Construir o gráfico da função .
ou seja,


Assim, a função é a reta y = x - 2, antes do ponto x = 0, e a reta y = -x - 2, após esse ponto.

E o gráfico:


Vamos traçar os gráficos de  e  no mesmo plano:


O segundo gráfico representa um deslocamento do primeiro, na vertical, de -2 unidades.

Podemos concluir que um gráfico da forma  representa um deslocamento na vertical de +a unidades (se a for positivo) e de -a unidades (se a for negativo), em relação ao gráfico da função .