Por que um círculo tem 360 graus?

Alguma vez você já se perguntou por que há 360 graus em um círculo? Este pequeno vídeo destila uma série de informações sobre os números, geometria e da relação entre eles.

"Se você soubesse a magnificência do 3, 6 e 9, então você teria uma chave para o universo." - N.Tesla
Nikola Tesla (Nicola Tesla ou Никола Тесла) (Smiljan, Império Austríaco, 10 de Julho de 1856 — Nova Iorque, 7 de Janeiro de1943) foi um inventor nos campos da engenharia mecânica e eletrotécnica, de etnia sérvia nascido na aldeia de Smiljan, Vojna Krajina, no território da atual Croácia. Era súdito do Império Austríaco por nascimento e mais tarde tornou-se um cidadão estadunidense. Tesla é muitas vezes descrito como um importante cientista e inventor da modernidade, um homem que "espalhou luz sobre a face da Terra". É mais conhecido pelas suas muitas contribuições revolucionárias no campo do eletro magnetismo no fim do século XIX e início do século XX. As patentes de Tesla e o seu trabalho teórico formam as bases dos modernos sistemas de potência elétrica em corrente alternada (AC), incluindo os sistemas polifásicos de distribuição de energia e o motor AC, com os quais ajudou na introdução da Segunda Revolução Industrial.

Depois da sua demonstração de transmissão sem fios (rádio) em 1894 e após ser o vencedor da "Guerra das Correntes", tornou-se largamente respeitado como um dos maiores engenheiros eletrotécnicos que trabalhavam nos EUA. Muitos dos seus primeiros trabalhos foram pioneiros na moderna engenharia eletrotécnica e muitas das suas descobertas foram importantes a desbravar caminho para o futuro. Durante este período, nos Estados Unidos, a fama de Tesla rivalizou com a de qualquer outro inventor ou cientista da história e cultura popular, mas devido à sua personalidade excêntrica e às suas afirmações aparentemente bizarras e inacreditáveis sobre possíveis desenvolvimentos científicos, Tesla caiu eventualmente no ostracismo e era visto como um cientista louco. Nunca tendo dado muita atenção às suas finanças, Tesla morreu empobrecido aos 86 anos.

A unidade de SI que mede a densidade do fluxo magnético ou a indução magnética (geralmente conhecida como campo magnético "B"), o tesla, foi nomeada em sua honra (na Conférence Générale des Poids et Mesures, Paris, 1960), assim como o efeito Tesla da transmissão sem fio de energia para aparelhos eletrônicos com energia sem fio, que Tesla demonstrou numa escala menor (lâmpadas eléctricas) já em 1893 e aspirava usar para a transmissão intercontinental de níveis industriais de energia no seu projeto inacabado da Wardenclyffe Tower.

À parte os seus trabalhos em eletro magnetismo e engenharia eletromecânica, Tesla contribuiu em diferentes medidas para o estabelecimento da robótica, controle remoto, radar e ciência computacional, e para a expansão da balística, física nuclear, e física teórica. Em 1943 o Supremo Tribunal dos Estados Unidos acreditou-o como sendo o inventor do rádio. Muitos das suas realizações foram usadas, com alguma controvérsia, para apoiar várias pseudociências, teorias sobre OVNIs, e as primeiras formas de ocultismo New Age.

Tesla recebeu da Checoslováquia a mais alta ordem do Leão Branco.

Contido em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Nikola_Tesla, pesquisado em 09/09/2014 as 10h30.

Curiosidades Matemáticas

 

O que é um Número Capicua?

 

Um número é Capicua é um número que se lê do mesmo modo da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda. Por exemplo 77, 434, 6446, 82328.

Para obteres um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um número capicua.

Exemplo: Partindo do número 84 ,

84 + 48 = 132;

132 + 231 = 363, que é um Número Capicua.

  

Você sabe o que é o Número Mágico?

 

1089 é conhecido como o Número Mágico. Vê porquê.

Escolhe qualquer número de três algarismos distintos, por exemplo, 875.

 

Escreve este número de trás para frente: 578

Subtrai o maior do menor.
875 - 578 = 297

Agora inverte também esse resultado (792) e soma as duas parcelas.
297 + 792 = 1089   => O Número Mágico!!!!

 Veja se você consegue?

 

 Quanto vale um Centilhão?

 

O maior número aceite no sistema de potências sucessivas de dez, é o Centilhão, (registrado  pela primeira vez em 1852). Representa a centésima potência de um milhão, ou seja, o número 1 seguido de 600 zeros (apenas é utilizado na Grã-Bretanha e na Alemanha).

 

Data histórica: 20/02 de 2002.

 

Quarta-feira, dia 20 de Fevereiro de 2002 foi uma data histórica. Durante um minuto, houve uma conjunção de números que somente ocorre duas vezes por milénio.
Essa conjugação ocorreu exatamente às 20 horas e 02 minutos de 20 de Fevereiro do ano 2002, ou seja, 20:02 20/02 2002.

É uma simetria que na matemática é chamada de capicua (algarismos que se leêm do mesmo modo da esquerda para a direita, e vice-versa). A raridade deve-se ao facto de que os três conjuntos de quatro algarismos são iguais (2002) e simétricos entre si (20:02, 20/02 e 2002).

A última ocasião em que isso ocorreu foi às 11h11 de 11 de Novembro do ano 1111, formando a data 11h11 11/11/1111.

A próxima vez será somente às 21h12 de 21 de Dezembro de 2112 (21h12 21/12/2112). Provavelmente não estaremos aqui para presenciar.  

Depois, nunca mais haverá outra capicua. Em 30 de Março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, já que não existe a hora 30.

  

Veja o que acontece se multiplicarmos o número 37 por múltiplos de 3. 

                                 

Razões trigonométricas = Plano de aula

Plano de aula

Tema: Razões trigonométricas no triângulo retângulo e ângulos notáveis.

Turma: 8ª série/9º ano

Competências e Habilidades:

 Determinar as razões trigonométricas de um ângulo agudo;

    Utilizar a razão trigonométrica de um ângulo agudo na resolução de situações-problema;

      Estimar a medida de ângulos de inclinação; efetuar medidas angulares com teodolito simplificado.

     

      Objetivo geral: Formular e resolver situação-problema, de modo a levar o aluno a desenvolver formas de raciocínio, relacionar ideias, criar estratégias para a solução do mesmo.

Objetivo específico: Resolver situações- problema utilizando razões trigonométricas e as operações necessárias, assim como as medidas apresentadas de maneira clara e objetiva. Trabalhar com a tabela dos ângulos notáveis, pois são os ângulos mais utilizados em resoluções de problemas.

Justificativa: Como já foi introduzido em aulas anteriores o conceito de trigonometria, a importância e as relações trigonométricas, o objetivo dessa aula é trabalhar com as situações-problema para compreender e atribuir significado ao conteúdo em questão, contextualizar e estimular o aluno a pensar, criar, imaginar, buscar maneiras de resolução, a fim de proporcionar autonomia e relacionar as ideias matemáticas com a sua vivência e assim conseguir uma aprendizagem significativa e efetiva.

                Buscando ainda através da música e a tabela dos ângulos notáveis, conter recursos audiovisuais que dão aos alunos a oportunidade de adquirir conhecimento de forma agradável, para a motivação da aprendizagem, assim facilitando a resolução de problemas.

Procedimentos metodológicos:

ü  Ângulo de elevação: contextos e estimativas – Caderno do aluno, volume 3.

ü  Leitura e análise de texto – caderno do aluno volume 3.

ü  Apresentação através de slides das relações: seno, cosseno e tangente, para recordar.  Continuando com a apresentação trabalharemos com os ângulos notáveis, ângulos de 30°, 45°e 60°, focando na importância desses ângulos, pois são os que aparecem com frequência em muitos problemas, será realizada a demonstração de como chegar nos valores da tabela dos ângulos notáveis, e usaremos a música como um recurso didático, que ajuda na aprendizagem.

   

Para estimular o interesse dos alunos, trabalharemos com a tabela, através da música, também será utilizada com o objetivo de os alunos comporem ou escreverem a tabela de forma rápida. A música abaixo tem como ritmo a versão “Jingle Bells”. Um, dois, três...Três, dois um! Tudo sobre dois.  A raiz vai no três e também no dois A tangente é diferente,  Vejam só vocês!  Raiz de três sobre três, um, raiz de três

ü  Apresentar aos alunos a tabela trigonométrica e mostrar como ela pode ser utilizada para resolver situações-problema que não envolvam os ângulos notáveis. A tabela trigonométrica a ser utilizada será a do livro didático.

ü   Trabalhar com calculadora científica, para calcular os valores das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de um ângulo qualquer. A proposta será que os alunos tragam calculadoras científicas e trabalhem em dupla ou grupo, dependendo do número de calculadoras, para investigarem os valores do seno, cosseno e tangente para outros ângulos, diferentes dos ângulos notáveis, caso não tenham a tabela trigonométrica.

ü  Agrupar os alunos em duplas para as resoluções de problemas a seguir:

Exercícios de aprendizagem:

1) Um ônibus sobe uma rampa que forma com a horizontal um ângulo de 30°. Tendo percorrido 500 m, o ônibus se encontra a que altura em relação à horizontal?

2)(Unifor-CE) No instante em que o ângulo de elevação do Sol acima do horizonte é de 60°, a sombra de um poste mede 2 m, como mostra a figura.

A altura desse poste é de, aproximadamente:

a) 4,1 m                 b) 3,8 m           c) 4,0 m               d) 3,4m      e) 3,2m

3) Para determinar a altura de um prédio, Lúcio colocou um teodolito a uma distância de 13 m da base desse prédio.

Determine qual a altura aproximada do prédio.

4) Um paraquedista salta de um avião quando este se encontra a 1500 m de altura. Devido à velocidade do avião e da ação do vento, o paraquedista cai conforme indica o segmento PA, inclinado 30° em relaç ão a PB (conforme figura abaixo).  A que distância do ponto B o paraquedista vai cair?

5) Sob um ângulo de depressão de 10° avista-se do alto de um farol, cuja altura é de 36m, um navio.  A que distância do farol se encontra tal navio? (sen 10° = 0,17; cos 10° = 0,99; tg 10° = 0,18)

6) Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo, sob um ângulo de 30°. A que altura encontra-se esse foguete após percorrer 8 km?

7) Deu cupim no pé da árvore e agora, infelizmente, será preciso derrubá-la. Antes, os bombeiros deverão estimar sua altura para saber se, na queda, ela não atingirá as casas vizinhas. Qual é a altura aproximada da árvore?

ü  Para aprofundar o assunto, sugerir que os alunos resolvam os exercícios do livro didático e do caderno do aluno (volume 3), individualmente.

ü  Para ampliar o conhecimento sobre a aplicação das relações trigonométricas, propor a construção de um teodolito rústico para fazer medições maiores, na sala de aula, no pátio, etc., propondo aos alunos a elaboração de situações-problema com o uso do teodolito. A atividade será realizada em grupo de 4 alunos.

Para a construção do teodolito em sala, utilizar o vídeo:

Recursos materiais e tecnológicos:

ü  Lousa

ü  Giz

ü  Caderno do aluno

ü   Livro didático

ü   Caderno

ü   Data show

ü   Computador

ü   Calculadora científica

ü  Transferidor

ü  Um tubo de caneta

ü  Chumbinho de pesca

ü   Um pedaço de linha

ü   Fita adesiva.

Avaliação:

 Será realizada através da construção do conceito em sala de aula, com participação ativa, elaboração e resolução das atividades propostas tanto em grupos ou individualmente, estas atividades podem ser realizadas como tarefa ou em sala de aula, resolução dos exercícios na lousa com a participação do aluno com intuito de observar se estes alunos conseguiram atingir as habilidades e competências em questão.

Recuperação:

A recuperação será de forma contínua com atividades complementares sendo estas desenvolvidas com acompanhamento individual e coletivo com correção na lousa para esclarecimento de dúvidas e participação do aluno.

Bibliografia:

ü  Livro didático de matemática – Projeto Radix de Jackson Ribeiro – 9º ano

ü  Caderno do aluno e do professor – Matemática - volume 3 – 8ª série/9º ano

ü  Vídeo sobre a tabela dos ângulos notáveis, disponível em:

https://www.youtube.com/watch?v=2FiCKoPBfZQ

ü  Plano de trabalho sobre razões trigonométricas:

      http://www.slideshare.net/lucyanneuff/plano-de-trabalho-razes-trigonométricas

     Contido em: http://fantasticomundomatematico.blogspot.com.br/2013/06/plano-de-aula-tema-razoes.html, pesquisado em 07/09/2014 as 12h00.

Trigonometria do triângulo retângulo

Propriedades do triângulo retângulo

1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.
2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.
3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.

Relações Métricas no triângulo retângulo

Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.

Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.

Triângulo	hipotenusa	cateto maior	cateto menor
ABC	a	b	c
ADC	b	n	h
ADB	c	h	m

Assim:

a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m

logo:

a/c = c/m    equivale a    c² = a.m
a/b = b/n    equivale a    b² = a.n
a/c = b/h    equivale a    a.h = b.c
h/m = n/h    equivale a    h² = m.n

Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b², obtemos:

c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²

que resulta no Teorema de Pitágoras: a² = b² + c²
A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.

As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.

Função	Notação	Definição
seno	sen(x)	medida do cateto oposto a x medida da hipotenusa
cosseno	cos(x)	medida do cateto adjacente a x medida da hipotenusa
tangente	tg(x)	medida do cateto oposto a x medida do cateto adjacente a x

Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo.

Relação fundamental: 

Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação: cos²(x) + sen²(x) = 1

Contido em: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigon1/mod114.htm, pesquizado em 07/09/2014 as 10h00.

Cotangente, secante e cossecante

Cossecante

Por definição, cossecante é a relação do inverso do seno.

Assim: cossecX = 1/senX

Dado um número real x , tal que x  kπ, considerando a reta s tangente  ao circulo trigonométrico no ponto P que intercepta o eixo do seno no ponto C, definimos por cossecante o módulo do segmento que vai do centro da circunferência trigonométrica até o ponto C.

Sinal da cossecante.

Quando o ângulo é do primeiro ou do segundo quadrante seu sinal é positivo, quando do terceiro ou quarto seu sinal é negativo.

Secante

Por definição temos que secante é a relação do inverso do cosseno.

Assim: secX = 1/cosX

Dado um número real x , tal que x  ã/2 + kã , considerando a reta s tangente ao circulo trigonométrico no ponto P que intercepta o eixo do cosseno no ponto C, definimos por secante o módulo do segmento que vai do centro da circunferência trigonométrica até o ponto S.

Sinal da secante
Quando o ângulo é do primeiro ou do quarto quadrante seu sinal é positivo, quando do segundo ou do terceiro seu sinal é negativo.

Cotangente

Por definição temos que cotangente é a relação do inverso da tangente.

Assim: cotgX = 1/tanX = cosX / senX

Dado um número real x , tal que x  kã, considerando a reta d tangente ao circulo trigonométrico no ponto B seja D o ponto de intersecção da reta d com o segmento OP, definimos por cotangente o módulo do segmento que vai do ponto B até o ponto D.

Sinal da cotangente

Quando o ângulo é do primeiro ou do terceiro quadrante seu sinal é positivo, quando do segundo ou do quarto seu sinal é negativo.

Contido em: http://www.infoescola.com/matematica/secante-cossecante-e-cotangente/, pesquisado em: 06/09/2014 as 12h00.

Triângulo retângulo - Relações trigonométricas

No estudo da geometria plana e da trigonometria, um dos protagonistas é o triângulo retângulo, pois dele obtemos algumas teorias como Teorema de Pitágoras, relações trigonométricas etc. Mas para que possamos compreender todas essas teorias, primeiramente faz-se necessário entender a composição do triângulo retângulo.

Inicialmente, ele recebe essa classificação de retângulo, pois um de seus ângulos é reto (90°), como podemos constatar na imagem a seguir.

Para entendermos a característica dos outros dois ângulos deste triângulo, façamos a seguinte reflexão: Como a soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser 180°, um destes ângulos conhecido é o ângulo reto, logo a soma dos outros dois ângulos deverá ser 90°.

Do raciocínio anterior, conclui-se que os outros dois ângulos devem ser ângulos agudos.

Agora veremos os elementos não menos importantes neste triângulo, que constitui a relação de proporção entre cada ângulo e o lado oposto a este ângulo. No caso do triângulo retângulo, nomeamos os lados de duas maneiras: catetos e hipotenusa.

Dentre os catetos, teremos uma divisão entre: cateto oposto e cateto adjacente, e veremos que para cada ângulo que tomarmos como referência, cada cateto receberá uma classificação em especial.

Neste caso, a hipotenusa sempre será o lado oposto ao ângulo reto, no caso da Figura 1, a hipotenusa é o segmento de reta AB.

Vamos classificar os catetos deste ângulo: Temos dois catetos (os segmentos AC e BC) que receberão classificação de cateto oposto e cateto adjacente, dependendo do ângulo que tomamos como referência.

Logo: Cateto Oposto: é o lado oposto ao ângulo que se observa, e o Cateto Adjacente: é o lado vizinho ao ângulo que se observa.

O triângulo é o polígono com menor número de lados, mas é uma das formas geométricas mais importantes no estudo da geometria. Sempre intrigou matemáticos desde a Antiguidade. Triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo interno medindo 90^o. Esse tipo de triângulo apresenta propriedades e características muito relevantes. Faremos o estudo das relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo.

Todo triângulo retângulo é composto por dois catetos e uma hipotenusa. A hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo e está oposto ao ângulo reto.

Observe a figura abaixo.

Temos que:
a → é a hipotenusa
b e c → são os catetos.
A perpendicular a BC, traçada por A, é a altura h, relativa à hipotenusa do triângulo.

BH = n e CH = m são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

 Os três triângulos são semelhantes

Da semelhança de triângulos obtemos as seguintes relações:

Daí segue que:  b² = am  e ah = bc

Temos, também, as seguintes relações:



E a mais famosa das relações métricas no triângulo retângulo:

a² = b² + c²   Que é o teorema de Pitágoras.

Observe que temos cinco relações métricas no triângulo retângulo:

1. b² = am
2. ah = bc
3. c² = an
4. h² = mn
5. a² = b² + c²

Todas elas são de grande utilidade na resolução de problemas que envolvem triângulos retângulos.

Exemplo:-. Determine as medidas da altura relativa à hipotenusa e dos dois catetos do triângulo abaixo.

Solução: Temos que: n = 2 cm e m = 3 cm

Utilizando a quarta relação descrita anteriormente, obtemos:

h² = mn          h² = 3∙2            h² = 6            h = √6

Segue que: a = 2 + 3 = 5 cm

Daí, utilizando a primeira relação, obtemos:

b² = am          b² = 5∙3            b² = 15          b = √15

Da terceira relação, obtemos:

c² = an          c² = 5∙2              c² = 10          c = √10

Contido em: http://www.alunosonline.com.br/matematica/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo.html, pesquisado em 05/09/2014 as 10h00.

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:

Catetos: a e b
Hipotenusa: c

O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c²

Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15


Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja:

x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2

√2 = 1,414213562373....

Exemplo 2
Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:

x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15



Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:

Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?

Pelo Teorema de Pitágoras temos:

x² = 10² + 40²

x² = 100 + 1600

x² = 1700

x = 41,23 (aproximadamente)

Contido em: http://www.brasilescola.com/matematica/teorema-pitagoras.htm,pesquisadoem03/09/2014 as 10h00.