Proporcionalidade - Conceito - Sequência de Aulas

Sequência de Aulas - O Conceito de Proporcionalidade

1. Nível de ensino: Fundamental – 7º. ano – 8ª. Série.

2. Conteúdo Estruturante: Números e Álgebra

2.1 Conteúdo Básico: Razão e proporção

2.2 Conteúdo Específico: Proporcionalidade

3. Objetivos:

• Compreender o conceito de proporcionalidade;
• Calcular proporções em situações-problema simples.

4. Número de aulas estimado: 5 aulas de 50 minutos cada.

5. Justificativa:

Nesta sequência de aulas o estudante terá oportunidades para compreender o conceito de proporcionalidade que segundo Nunes (2003) é uma questão central que envolve tanto frações como multiplicação estão presentes em todas as ciências e faz parte do dia a dia de qualquer pessoa, seja no trabalho, seja em casa. O conceito, bastante simples na sua origem, nada mais é do que a relação entre duas variáveis.

Para Fioreze (2008, p. 1) a proporcionalidade tem várias aplicações na realidade quotidiana e destacada importância tanto no ensino da Matemática como em outras áreas das Ciências.

A autora fez um amplo estudo sobre o conceito de proporcionalidade e destacou, entre as aplicações desse conceito, sua utilidade nas escalas musicais; na ampliação/redução de fotos e mapas, nos conceitos de fração, quociente, número racional, produto e quociente de dimensões, escalar, função linear, combinação e aplicação linear. FIOREZE (2010, p. 47).

No âmbito do desenvolvimento da aprendizagem considera-se que o raciocínio proporcional constitui um conceito pivô para os progressos escolares da matemática (e das ciências), pois é considerado o culminar dos alunos do ensino fundamental e é o alicerce de tudo o que se segue. É um raciocínio que abrange um espectro amplo e complexo de aptidões cognitivas que incluem tanto a dimensão matemática como a dimensão psicológica (LESH, POST, BEHR, 1988 apud FIOREZE, 2010, p. 48).
O vídeo que selecionamos nesta sequência de aulas traz aplicações do conceito de proporcionalidade na alimentação. São, portanto, aplicações na vida prática. Entretanto, a apropriação desse conceito é fundamental para o progresso da aprendizagem de áreas fundamentais da matemática, como a álgebra e a geometria.

6. Encaminhamento

1ª Aula - Exposição, debate e vídeo. 

• Explicar aos alunos que nesta aula será estudado o conceito de proporcionalidade e que, para isso, será exibido um vídeo. Explicar que eles devem ficar atentos, pois a projeção do vídeo será congelada em determinados momentos para discussões e complementações do professor.
• Este é o vídeo proposto:

Para iniciar a projeção, posicionar o vídeo "Matemática na cozinha" da série "Matemática em toda parte" (ao lado) aos 7 minutos e 54 segundos, que é o momento em que os personagens começam a preparar duas diferentes receitas de limonada usando conceitos de proporção. Em uma delas, usam-se três limões para cada cinco copos d'água e na outra são quatro limões para cada cinco copos d'água. Pare a projeção do vídeo aos 9 minutos e pergunte aos alunos o porquê dos personagens do vídeo dizerem que fica fácil comparar as duas frações que representam as proporções das duas limonadas. Pergunte também qual das duas frações representa a maior proporção. Espera-se que respondam que é fácil de comparar porque as frações têm o mesmo denominador, ou seja, elas representam partes iguais do mesmo todo, por isso é fácil de compará-las e que a maior proporção é representada pela fração que tem o maior numerador. Se eles não responderem dessa forma, você pode explicar isso a eles. Após essa discussão, retome a projeção do vídeo no momento em que serão preparadas duas  receitas de molho para uma macarronada (aos 9 minutos). Em uma das receitas a proporção é de cinco cebolas para oito tomates e na outra a proporção é de quatro cebolas para sete tomates. No vídeo são levantadas duas questões: 1) Como comparar essas duas proporções? e; 2) Qual delas tem a maior quantidade de cebolas proporcionalmente à quantidade de tomates? Os personagens falam em usar o mínimo múltiplo comum para fazer esta comparação. Pare o vídeo após esta explicação (aos 11 minutos e seis segundos) e complemente a aula retomando na lousa a técnica de como encontrar frações equivalentes com o mesmo denominador e que  podem ser comparáveis. Use para isso outros exemplos de frações, incluindo frações em que  os denominadores não são primos entre si como, por exemplo, 3/10 e 5/9.

Explique aos alunos que o estudo do conceito de proporção será retomado na próxima aula.

2ª. Aula

Retome rapidamente o que foi trabalhado na aula anterior e posicione o vídeo aos 11 minutos e oito segundos. Neste trecho do vídeo a narradora fala sobre a concentração de sal, açúcar e gordura em produtos consumidos pelas pessoas. Ele apresenta valores ideais de consumo de açúcares em um dia e, em seguida, calcula a quantidade de sódio constante em um pacote de biscoito e compara esse dado com a quantidade ideal de sódio a ser consumida em um dia. Como o narrador faz diversos cálculos, você pode retomar a projeção do vídeo tantas vezes quantas forem necessárias e fazer os mesmos cálculos que ele faz acompanhado o vídeo na lousa. Para isso pare e retroceda a projeção tantas vezes quantas forem necessário. Retome a projeção do vídeo até 15 minutos e 50 segundos para que os alunos assistam a parte do vídeo em que se mostra uma situação em que a proporção simples não pode ser aplicada em função da escala. Informe aos alunos que isso pode acontecer com outros conteúdos de matemática em que as aplicações devem ser relativizadas. Informe também que na próxima aula será realizado o estudo da proporcionalidade em uma nova situação tratada no mesmo vídeo.

3ª. Aula

Retome rapidamente o que foi trabalhado na aula anterior e posicione o vídeo aos 16 minutos e seis segundos, até 19 minutos e 40 segundos. Acompanhe com os alunos e na lousa o raciocínio feito pelo narrador para calcular o preço de um bauru no contexto do vídeo. Você pode retomar a projeção do vídeo tantas vezes quantas forem necessárias. Depois, proponha aos alunos a tarefa de refazer os cálculos do custo para produzir o mesmo bauru com os preços médios atuais de cada ingrediente praticados no local em que moram. Para isso, peça que pesquisem os dados relativos ao custo dos ingredientes para fazer um bauru para a próxima a aula e informe a eles que eles farão os cálculos em grupos. Separe os grupos ainda nesta aula para que eles possam se organizar para a pesquisa. Sugere-se de três a cinco alunos por grupo.

4ª. Aula

Peça aos alunos que se organizem nos grupos e que, com os dados que pesquisaram e com os estudos realizados na aula anterior, façam o cálculo do custo de um bauru no local em que moram. Como no vídeo o narrador não calcula o custo total de um bauru, considerando os demais custos envolvidos, pode-se propor que os alunos façam esse cálculo estimando os custos de cada item citado no vídeo (impostos, aluguel, encargos salariais, água, energia elétrica e gás). Pode-se também simular a quantidade de baurus vendidos durante o mês considerando um estabelecimento que só vende baurus e estimar o custo final de um bauru e o preço que deve ser cobrado por bauru para que o dono do estabelecimento tenha lucro com a venda desses sanduíches.

5ª. Aula

Peça que cada grupo apresente os cálculos realizados valorizando cada estratégia utilizada e fazendo as intervenções necessárias quando perceber que houve erro nos cálculos. Caso ainda tenha tempo, retome a projeção do vídeo em que o narrador faz cálculos de proporcionalidade com alimentos naturais e projete-o até os 21 minutos, terminado aqui o trabalho com este vídeo, pois o restante do conteúdo dele é destinado ao professor.

7. Relações interdisciplinares

Esta sequência de aulas tem aproximações com conteúdos de Ciências, pois trata da alimentação e da composição química dos alimentos, remetendo-se aos conteúdos estruturantes Sistemas Biológicos (conteúdos básicos Células, Morfologia e fisiologia dos seres vivos) e Energia (conteúdo básico Formas de energia).

8. Aprendizagem esperada
Espera-se que após esta sequência de aulas os alunos tenham compreendido algumas das aplicações das proporções como também sejam capazes de calcular proporções em situações simples como as apresentadas durante as atividades realizadas.

Autora: Professora Dolores Follador

Pesquisado em:  http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=1249#abrefecha - 17/07/2014 as 9h30.

Fractais

Fractais

                                                             Floco de neve de Koch

 

 

 

 

 

Durante séculos, os objetos e os conceitos da filosofia e da geometria euclidiana foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que vivemos. A descoberta de geometrias não-euclidianas introduziu novos objetos que representam certos fenômenos do Universo, tal como se passou com os fractais. Assim, considera-se hoje que tais objetos retratam formas e fenômenos da Natureza.

A ideia dos fractais teve a sua origem no trabalho de alguns cientistas entre 1857 e 1913. Esse trabalho deu a conhecer alguns objetos, catalogados como "demônios", que se supunha não terem grande valor científico.

Em 1872, Karl Weierstrass encontrou o exemplo de uma função com a propriedade de ser contínua em todo seu domínio, mas em nenhuma parte diferenciável. O gráfico desta função é chamado atualmente de fractal. Em 1904, Helge von Koch, não satisfeito com a definição muito abstrata e analítica de Weierstrass, deu uma definição mais geométrica de uma função similar, atualmente conhecida como Koch snowflake (ou floco de neve de Koch), que é o resultado de infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial. Cada vez que novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce, e fatalmente se aproxima do infinito. Dessa maneira, o fractal abrange uma área finita dentro de um perímetro infinito.

Também houve muitos outros trabalhos relacionados a estas figuras, mas esta ciência só conseguiu se desenvolver plenamente a partir dos anos 60, com o auxílio da computação. Um dos pioneiros a usar esta técnica foi Benoît Mandelbrot, um matemático que já vinha estudando tais figuras. Mandelbrot foi responsável por criar o termo fractal, e responsável pela descoberta de um dos fractais mais conhecidos, o conjunto de Mandelbrot.

"Fractais são formas igualmente complexas no detalhe e na forma global". Esta é a definição de fractal de Benoit Mandelbrot, matemático francês, nascido na Polônia, que descobriu a geometria fractal na década de 70. Quando estava  preparando a sua primeira obra importante sobre fractais para publicação em livro, Mandelbrot sentiu necessidade de encontrar um nome para a sua geometria.  Consultou um dicionário de latim do seu filho, onde encontrou o adjetivo fractus, do verbo frangere, que significa quebrar. Criou, então, a palavra fractal.

Durante séculos, as figuras e os conceitos da geometria euclidiana foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que vivemos. A descoberta de geometrias não-euclidianas introduziu novas figuras que representam certos fenômenos do Universo, tal como se passou com os fractais. Assim, considera-se hoje que tais figuras mostram formas e fenômenos da Natureza.

A ideia dos fractais teve a sua origem no trabalho de alguns matemáticos entre 1875 e 1925. Esse trabalho fez com que conhecessem algumas figuras, catalogadas como "monstros", que se supunha não terem grande valor científico. Tais figuras acabaram por adquirir um estatuto de dignidade matemática, constituindo hoje uma área importante de investigação matemática. Um dos fractais mais conhecido é o conjunto de Mandelbrot, que  apresentamos logo acima.

 

Pesquisado em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Fractal, em 15/07/2014 as 10h40.

 

Proporcionalidade em geometria

Proporcionalidade em geometria

Proporção é a igualdade entre duas razões equivalentes. De forma semelhante aos que já estudamos com números racionais, é possível estabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta, através das medidas desse segmentos.
Vamos considerar primeiramente um caso particular com quatro segmentos de reta:

• m(AB) =2cm       A______B 
•  m(PQ) =4cm      P____________Q
• m(CD) =3cm      C_________D 
• m(RS) =6cm       R__________________S 

A razão entre os segmentos AB e CD e a razão entre os segmentos PQ e RS, são dadas por frações equivalentes, isto é:
                                                  AB/CD = 2/3      e       PQ/RS = 4/6

e como 2/3 = 4/6, segue a existência de uma proporção entre esses quatro segmentos de reta. Isto nos conduz à definição de segmentos proporcionais.

Diremos que quatro segmentos de reta, AB, BC, CD e DE, nesta ordem, são proporcionais se:

AB/BC = CD/DE

Os segmentos AB e DE são os segmentos extremos e os segmentos BC e CD são os segmentos meios.

A proporcionalidade acima é garantida pelo fato que existe uma proporção entre os números reais que representam as medidas dos segmentos: 

                                  m(AB)         m(CD)

                                  ----------   =  ------------

                                  m(BC)         m(DE)

Propriedade Fundamental das proporções: Numa proporção de segmentos, o produto das medidas dos segmentos meios é igual ao produto das medidas dos segmentos extremos.

m(AB) · m(DE) = m(BC) · m(CD)

Feixe de retas paralelas: Um conjunto de três ou mais retas paralelas num plano é chamado feixe de retas paralelas. A reta que intercepta as retas do feixe é chamada de reta transversal. As retas A, B, C e D que aparecem no desenho anexado, formam um feixe de retas paralelas enquanto que as retas S e T são retas transversais.

          S/  \ T

---------/----\------- A
--------/------\------ B
-------/--------\------C
------/----------\-----D

Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. A figura ao lado representa uma situação onde aparece um feixe de três retas paralelas cortado por duas retas transversais.

---------/---------\--------

--------/A-------D\-------

-------/-------------\-------

------/B-----------E\------

-----/-----------------\-----

----/C---------------F\----

 Identificamos na sequência algumas proporções:

AB/BC = DE/EF

BC/AB = EF/DE

AB/DE = BC/EF

DE/AB = EF/BC

Exemplo 1: Consideremos a figura ao lado com um feixe de retas paralelas, sendo as medidas dos segmentos indicadas em centímetros.

---------/---------\--------

3------/A-------D\------4

-------/-------------\-------

6----/B-----------E\-----8

-----/-----------------\-----

----/C---------------F\-----

Assim:

BC/AB = EF/DE

AB/DE = BC/EF

DE/AB = EF/BC

Observamos que uma proporção pode ser formulada de várias maneiras. Se um dos segmentos do feixe de paralelas for desconhecido, a sua dimensão pode ser determinada com o uso de razões proporcionais.

Pesquisado em: http://tudonossonamatematica.blogspot.com.br/2009/08/proporcionalidade-em-geometria.html em 15/07/2014 as 10h00.

Proporcionalidade e semelhança em geometria - Exercícios resolvidos

Exercícios resolvidos de proporcionalidade e semelhança em geometria

1.)    Os segmentos AB, CD, EF e GH foram, nessa ordem, uma proporção. Sendo AB=15 cm, CD= 10 cm e EF= 12 cm, calcule a medida de GH.

Para resolvermos,  montamos uma regra de três simples, ou seja:

Temos  AB = 15; CD = 10; EF = 12 e GH = x

Portanto: AB/CD=EF/GH, ou seja:

15/10 = 12/x
15 . x = 10 . 12
15 . x=120
x = 120/15
x = 8

Resposta: x = GH = 8 cm.

 

2.)    Os segmentos AB, CD, MN E PQ, nessa ordem, são proporcionais, calcule a medida de MN, sabendo que AB= 6 cm, CD= 14 cm e PQ= 21 cm.

Para resolvermos,  montamos uma regra de três simples, ou seja:

Temos: AB = 6; CD = 14; PQ = 21 e MN = x

Portanto: AB/CD = PQ/MN, ou seja:

6/14 = 21/x
6 . x = 21 . 14
6 . x = 294
x = 294/6
x = 49

Resposta: x = MN = 49 cm.

A Terra é esférica, redonda, circular ou geoide?

Geoide – Cientistas divulgam o melhor mapa gravitacional da Terra

O geoide é um modelo físico da forma da Terra. De acordo com Carl Friedrich Gauss, é a "figura física  daTerra", sendo, de fato do seu campo de gravidade. É a superfície equipotencial (superfície de potencial gravitacional constante) e que, em média, coincide com o valor médio do nível médio das águas do mar.

A superfície do geoide é mais irregular do que o elipsoide de revolução usado habitualmente para aproximar a forma do planeta, mas consideravelmente mais suave do que a própria superfície física terrestre. Enquanto que esta última varia entre os +8850 m (Monte Everest) e −11000 m (Fossa das Marianas), o geoide varia apenas cerca de ±100 m além da superfície do elipsoide de referência.

Ao viajar no mar, não se nota as ondulações do geoide; a vertical de cada lugar é sempre perpendicular e a horizontal tangente ao geoide. Um recetor de GPS a bordo pode mostrar as variações de altitude relativamente a um elipsoide (cujo centro coincide com o centro de massa terrestre) mas não a altitude ortométrica, relativa ao geoide.

Essa ideia existe há bem mais de um século, mas só recentemente foi posta em um modelo preciso, em grande parte graças a Agência Espacial Europeia e ao Explorador da Circulação Oceânica (GOCE).

Desde 2009, o GOCE mapeia o campo gravitacional da Terra. Ontem, a agência lançou seu modelo mais detalhado de geoide até a data. Esqueça aquele globo perfeitinho. A imagem da “Terra Batata” mostra o quão diferente pode ser a gravidade em vários pontos do planeta.

Você sabe o que é um geoide?

A grosso modo, é um modelo da Terra que não segue a superfície da crosta, mas sim a superfície média do oceano, se os oceanos estivessem em equilíbrio e prolongados através dos continentes.

Em outras palavras, geoide é a forma que a Terra teria baseado em seu campo gravitacional existente, se as marés, as correntes, e as características da crosta não distorcessem as coisas.

Na foto, o amarelo indica a maior atração gravitacional, enquanto o azul indica a menor atração gravitacional. Para os seres humanos, estas diferenças na gravidade parecem insignificantes (ninguém viaja para um lugar distante e comenta: “olha como a gravidade é maior aqui!)”.

Porém, as diferentes forças gravitacionais têm um grande impacto na dinâmica do oceano e da circulação de calor ao redor do planeta, um conceito chave para compreender as condições atmosféricas e a mudança climática.

O geoide também é útil ao campo da geologia, que estuda desastres como a sequência de terremotos japoneses. Os pesquisadores esperam que os dados do GOCE (novas informações devem ser disponibilizadas em breve) ajudem a explicar e definir esses grandes movimentos na crosta da Terra.

Pesquisado em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Geoide dia 06/07/2014 as 10h00 e http://hypescience.com/geoide-cientistas-divulgam-melhor-mapa-gravitacional-da-terra dia 07/07/2014 as 8h00.

Ângulos e retas concorrentes

Ângulos e retas concorrentes

 Observe a figura abaixo:

Na figura temos um ângulo de 30º e um ângulo β ao lado. Repare que o ângulo de 30º junto com o β formam meia volta (180º) logo β é o que falta ao 30º para completar 180º, ou seja, β = 150º.
Algebricamente temos:     

                                                30º + β = 180º

                                                β = 180º – 30º

                                                β = 150º

                                 
Agora repare que o ângulo 150º (β) está ao lado também do θ. E que 150º e θ também formam meia volta (!) (180º) logo θ é o que falta ao 150º para completar 180º, ou seja, θ = 30º.
Algebricamente temos:

                                                 150º + θ = 180º

              θ = 180º – 150º
              θ = 30º

Reparamos que θ = 30º acabou igual ao ângulo “oposto” a ele. Se o ângulo inicial medir algum outro valor (Ex. 50º) podemos usar o mesmo processo e descobrir que o ângulo “oposto” de novo mede a mesma coisa,

Como podemos mostrar que os ângulos "opostos" são sempre iguais? Como nessa situação não sabemos quanto medem os ângulos vamos chamá-los com letras gregas..

Uma idéia é usar os mesmos raciocínios que usamos no caso particular.:

Repare que os ângulos α e β juntos completam meia volta assim como β e θ, podemos pensar que α é o que falta ao β para completar 180º assim como θ é o que falta ao β para completar 180º logo α é igual ao θ. Colocando isso algebricamente temos:

α + β = 180º então α = 180º – β

β + θ = 180º então θ = 180º – β

e concluindo:

α = θ = 180º – β
 

Teorema dos ângulos opostos

Quando duas retas se cortam os ângulos “opostos pelo vértice” são iguais. 

Nessa situação os ângulos além de estarem de "lados opostos" tem que ter como "lados" a continuação dos lados do ângulo "oposto". Numa situação onde várias retas se encontram (ou passam por) necessário prestar atenção para não se equivocar.(aqui poderia-se colocar o ângulo oposto no "ângulo errado" (ao lado por exemplo) ou colocar sem que os lados sejam de fato continuação do outro.

Pesquisado em: http://matematica-para-todos.wikispaces.com/Explorando+-+%C3%82ngulos+retas+concorrentes em 05/07/2014 as 12h20.

Cálculo da distância de navios no mar

Um dos grandes feitos atribuídos a Tales de Mileto, foi a possibilidade de medição da distância dos navios no alto mar.

Tales de Mileto (625 - 546 a.C) mediu a distância de um navio à praia, usando, provavelmente, o que seria o seu teorema: Semelhança de triângulos.

Para medir esta distância provavelmente procedeu assim: De um ponto fixo, que chamaremos de O na praia, fixaremos nosso olhar a um navio referenciado como ponto B. Traçando-se uma perpendicular OA a OB, formamos um triângulo retângulo co0m a hipotenusa AB.

De A fixemos o olhar a B. Por um ponto C escolhido na base OA, traça-se uma paralela à OB, que será, perpendicular à base. 

Os triângulos ACD e AOB são semelhantes, logo:

Como as distâncias podem ser medidas ao longo da praia, pode-se calcular a distância OB. Generalizando, a base e o olhar para o navio podem ser quaisquer, não necessariamente perpendiculares, desde que os ângulos do olhar para o navio e o comprimento da base sejam conhecidos.